数值分析复习资料(2)

4）Hermite插值（待定系数法）H2n?1(x)??[?(x)f(x)??(x)f(x)]

'jjjjj?0'jj'jn其中?j(x)?(ax?b)l(x),a??2l(xj),b?1?2xl(xj),l(xj)?2j'j1 ?x?xk?1,k?jjkn?j(x)?(x?xj)l2j(x)

f(2n?2)(?)2余项：E(x)?Pn?1(x)

(2n?2)!5）分段线性插值：Lj(x)?x?xj?1xj?xj?1f(xj)?x?xjxj?1?xjf(xj?1)

?0,x0?x?xn?1?x?x1,x?x?x01??插值基函数：l0(x)??x0?x1 ,ln(x)??x?xn?1,x?x?xn?1n?0,x?x?x?n?1?xn?xn?1?x?xj?1,xj?1?x?xj??xj?xj?1??x?xj?1lj(x)??,xj?x?xj?1

?xj?xj?1?0,???余项：分段余项?M22h,M2?maxf(2)(x) 86）有理逼近：反差商表

有理逼近函数式：f(x)?v0(x0)?v1(x1)?x?x0x?x1v2(x2)??

x?xn?1vn(xn)7）正交多项式的计算：

定理：在[a,b]上带权函数?(x)的正交多项式序列??n(x)?0，若最高项系数唯一，它便是唯一的，且由以下的递推公式确定

??n?1?(x??n)?n??n?n?1

其中(?i,?j)?定理3.8

?n?(x?n,?n)(?n,?n),?n?,??1?0,?0?1

(?n,?n)(?n?1,?n?1)?ba?(x)?i?jdx

8）连续函数的最佳平方逼近：在??Span{1,x,x2,,xn}上，法方程为Hna?d，

12?1?1213其中Hn?????1(n?1)1(n?2)均方误差：?最大误差：?2*1(n?1)?11(n?2)??，dk?(f,?k)?f(x)?kdx ?0??1(2n?1)?2*?adi ?i2i?1n?(f,f)?(P,f)?f?maxf?P*

0?x?1?9）离散函数的最佳平方逼近（曲线的最小二乘拟合）： 法方程

?(?,?)ajkj?0mi?0nj?(f,?k)

(?j,?k)???i?j(xi)?k(xi)其中

(f,?k)???if(xi)?k(xi)i?0m

第四章 数值积分

1）代数精度的概念及应用：对r次多项式的精确成立，以及代入法求解系数。 2）Lagrange插值代入 Lagrange插值基函数lj?n(x?x0)(xj?x0)(x?xj?1)(x?xj?1)(xj?xj?1)(xj?xj?1)b(x?xn)(xj?xn)

?baf(x)dx??Hjf(xj)，其中Hj??lj(x)dx

j?0a误差：E(f)??baf(n?1)(?)Pn?1(x)dx

(n?1)!定理：数值积分公式具至少有n次代数精度?其是差值型的 3）等距节点的Newton-Cotes公式

将拉格朗日差值积分公式中的差值节点xi?a?ih即可，其中h?b?a； nHj(?1)n?jhnnHj??(t?i)dt，令Cj?b?a（Cotes系数）则：

j!(n?j)!?0i?0,i?jQ(f)?(b?a)?Cjf(xj)

j?0nN-C公式的数值稳定性：当Cj同号时是稳定的，否则不稳定，??(b?a)??Cj?0nj（其中

??max?j）

0?j?nN-C公式至少具有n次代数精度，若n为偶数，则其代数精度可提高到n+1次； 余项：

f(n?2)(?)b当n为偶数时，E(f)?xPn?1(x)dx

(n?2)!?af(n?1)(?)b当n为奇数时，E(f)?Pn?1(x)dx ?a(n?1)!4）复化的N-C公式

复化的梯形公式：将积分区间n等分，然后在每个区间上应用梯形公式

I??f(x)dx???aj?0bn?1xj?1xj?f(xj)?f(xj?1)?f(x)dx????h?En(f)?Tn?En(f)

2j?0??n?1En(f)??1h2()(b?a)f''(?) 122复化的Simpson公式：将积分区间n等分，然后在每个区间上应用Simpson公式

n?1?f(xj)4f(xj?1)f(xj?1)?n?1h22?????Sn?????f(x)?f(x)?f(x1)h ?jj?1??j?666?j?06j?0?j?032??1h4En(f)??()(b?a)f(4)(?)

18024T?TSn?2nn

3n?15）Romberg积分法

?T0(h)?T(h)?h1h?Tm()?()2mTm(h)4mTm()?Tm(h) ?222?m?Tm?1?12m4?11?()??2Tm(h)逼近I(f)的阶为h2(m?1)

hhhT0(h) T0() T0() T0()

248hh T1(h) T1() T1()

246）求积节点为n+1的机械求积公式的代数精度<=2n+1；

7）Gauss求积公式

'f(x)????(x)f(x)??(x)f(xj)?jjj???E(x)

j?0nf(2n?2)(?)2E(x)?Pn?1(x)

(2n?2)!I(f)??f(x)dx??anbab'??(x)f(x)??(x)f(xj)??jjj??dx??aE(x)dxaj?0nb'bbnb ????j(x)dxf(xj)????j(x)dxf(xj)??E(x)dxj?0nj?0aa

??Hjf(xj)??Hjf'(xj)j?0j?0nHj??(x?xj)l2j(x)dx??abbaPn?1(x)lj(x)dx 'Pn?1(x)Pn?1(x)在[a，b]上与所有次数<=n的多项式带权??1正交?上式为Gauss求积公式、

8）Gauss-Legendre求积公式 给

出

Pn?1(x)公式：

P0(x?)、1P1(x)?x、

(3x2?1)1dn(x2?1)n? P2?222222Pn(x)?nn?2n!dx2给出区间[1,-1]上的求积公式，取Pn(x)的零点为求积节点 ① 取P1(x)零点为0

?baf(x)dx?H0f(x0)?E(f)

3 3

H0?2

② 取P2零点为??baf(x)dx?H0f(x0)?H1f(x1)?E(f)

Gauss

H0?H0?1

a?bb?a?t,t?[a,b]，22对于区间[a,b]上的

求积公式，令x?f(x)?f(?baa?bb?a?t)?g(t)，则： 221b?ab?a1f(x)dx??g(t)dt?g(t)dt

?122??1b?ag2(n?1)(?)12Pn?1(t)dt,Pn?1(t)?(t?t0)余项：E(f)?2(2n?2)!??1(t?tn)

第五章 乘幂法 1）基本定理： 定理一：若?1,?2,,?n为A的特征值，P(x)为某一多项式，则矩阵P(A)的特征值是

P(?1),P(?2),,P(?n)。特别地，Ak的特征值是?1k,?2k,?nk。

定理二：如果A为实对称矩阵，则A的所有特征值均为实数，且存在n个线性无关的特征向量；不同特征值所对应的特征向量正交。

定理三：设A与B为相似矩阵，即存在非奇异阵P，使PAP征值。

定理四：如果A有n个不同的特征值，则存在一个相似变换矩阵P，使得PAP?D，其中D是一个对角矩阵，它的对角线元素就是A的特征值。

定理五：对于任意方阵A，存在一个酉变矩阵Q，使得QHAQ?T，其中T是一个上三角矩阵，QH是Q是共轭转置矩阵。

推论：如果A是实对称矩阵，则存在一个正交矩阵Q，使QTAQ?D，其中D是对角矩阵，它的对角线元素是A的特征值，而Q的各列即为A的特征向量，并且QTQ?QQT?I。 定理六：设A?(aii)n?n,Ci(i?1,?1?1?B，则A与B有相同的特

,n)是以aii为中心的一些圆，其半径为

Ci，则A的所有特征值都位于区域?内。

ri?k?1,k?i?nnaik,i?1,,n，设??i?1n1?min(aii??aik)。 推论：A的谱半径满足?1?(A)1?i?nk?1,k?i?11xHAxxHAx定理七：设A为对称正定阵，则有?(A)?maxH，?minH，其中，x?1x?0xx?(A)x?0xx是任意复向量，xH表示x的共轭转置。 定理八：对任意非奇异矩阵A，有

12T????(AA)，其中?i为A的任一特征iT?1???(AA)??值。

2）求按模最大的特征值和对应的特征向量

Amv0，max(vm)??1 vm?Aum?1?m?1max(Av0)3）

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