数值分析复习资料(10)

其中

xk?a?kh,h?b?a4.

b23456f(x)dx?Cf(x)?1,x,x,x,x,xf(x)?x?a验证对于，均成立，但时不成立。

1S?(e0?4?e?1/2?e?1)64. ＝0.63233 b?ab?a4(4)RS??()f(?)1802，

1111|RS|??()4(e??)??()4?0.0003518021802所以。

5. 1) 此差值型求积公式的余项为

由于x?a在[a,b]上恒为正，故在[a,b]上存在一点?，使

bf?(?)R?f?(?)?(x?a)dx?(b?a)2.a2

bf?(?)2f(x)dx?(b?a)f(a)?(b?a)?2所以有a。

aR??f?(?)(x?a)dxb 2)

R??f?(?)(x?b)dxabab

f?(?)(b?a)2.2

??f?(?)?(x?b)dx??bf?(?)a?b2(x?)dxa22 3) f??(?)ba?b2?(x?)dx?a22 f??(?)?(b?a)3.24

6. 梯形公式和辛甫森公式的余项分别为

b?a2Rr??hf??(?)12 b?ah4(4)RS??()f(?)1802

b?a??[a,b],h?n， 其中

R??所以当n??时，Rr?0,RS?0，即两公式均收敛到积分

为二阶和四阶收敛。

7. 设将积分区间分成n等分则应有

b?a?b?a?(b?a)3|R|???M???f??(?)?212?n?12n2?baf(x)dx，且分别

其中

M?max|f??(x)|a?x?b

，

(b?a)3Mn?12?解得。

8. 首先算出T1,T2,T4,T8，然后逐次应用3个加速公式

计算结果如下表

T2kS2k k 0 0.68394 0.63234 1 0.64524 0.63213 2 0.63541 0.63212 3 0.63294

2I??0.63212?0.71327?所以，积分。

.5， 9. a?(2R?H?h)/2?7782 c?(H?h)/2?972.5，

41T2k?1?T2k,k?0,1,233 161C2k?S2k?1?S2k,k?0,11515 641R2k?C2k?1?C2k,k?0,16363 S2k?C2k R2k 0.63213 0.63212 0.63212 cS?4a?21?()2sin2?d?0a所以

?0

＝437782.531.56529 ＝48728

（可任选一种数值积分方法，如柯特斯公式）。 10. 由泰勒展开式

x3x5sinx?x????3!5!

??4?7782.5?21?0.01561sin2?d???45!n有

?1limn?sin??T(h)?sin?hnh由于n??，用外推算法，令，则

111T()?2.59808,T()?3,T()?3.10583,3 6 12 1411114111T1()?T()?T()?3.13397T1()?T()?T()?3.1411133633631236， ，

n3!n2nsin?????3??5即?的近似值为3.14159。

31I??dy1y11.

116111T2()?T1()?T1()?3.141593156153，

1) 计算结果如下表

T2k k 0 1.33333 1 1.16667 2 1.11667 3 1.10321

即积分I＝1.09862。

3111dy?f(t)??1y??1t?2dt2) ，令

S2k C2k R2k 1.11112 1.10000 1.09872 1.09926 1.09863 1.09862 1t?2

三点高斯公式

5158515I?f(?)?f(0)?f()?1.0980495995 五点高斯公式

I?0.23693f(?0.90618)?0.47863f(?0.53847)?0.56889f(0)?0.47863f(0.53847)?0.23693f(0.90618) ＝1.09862。

31I??dy1y3)

212.51311dy??dy??dy??dy1y1.5y22.5yy

111111111?(?dt??dt??dt??dt)?1?1?1?140.25t?1.250.25t?1.750.25t?2.250.25t?2.75

133f(x)dx?f(?)?f()??133，得 对每个积分用高斯公式

??3I＝1.09854。

此积分精确值为ln3?1.09861。 12. 三点公式：

1f?(1.0)?[?3f(1.0)?4f(1.1)?f(1.2)]??0.2472?0.1 1f?(1.1)?[?f(1.0)?f(1.2)]??0.2172?0.1 1f?(1.2)?[?f(1.1)?f(1.3)]??0.1892?0.1。

f?(x)??2(1?x)?3， f??(x)?6(1?x)?4， f???(x)??24(1?x)?5

h20.12|R1|?f???(?)??24(1?1.2)?5?1.55?10?333f?(1.0)的误差 h20.12|R2|??f???(?)??24(1?1.2)?5?7.8?10?466f?(1.1)的误差

?4f?(1.2)的误差 |R3|?6.2?10。 五点公式：

1[?25f(1.0)?48f(1.1)?36f(1.2)?16f(1.3)?3f(1.4)]??0.248312?0.1 1f?(1.1)?[?3f(1.0)?10f(1.1)?18f(1.2)?6f(1.3)?f(1.4)]??0.216312?0.1 1f?(1.2)?[f(1.0)?8f(1.1)?8f(1.3)?f(1.4)]??0.188312?0.1。 f?(1.0)?误差分别为

R1?1.7?10?3，

R2?3.4?10?4， R3?4.7?10?4。

第五章 常微分方程数值解法习题参考答案

yn?1?yn?h(axn?b)?n2n(n?1)2ahah?nbh2，误差2，改进尤拉

1． 尤拉法表达式

hn22yn?1?yn??f(xn,yn)?f(xn?h,yn?hf(xn,yn))??ah?nbh22法表达式，无误

差。

2． 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 3． 近似解 1.11 1.24205 1.39847 1.58181 1.79490 准确解 1.11034 1.24281 1.39972 1.58365 1.79744 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 近似解 2.04086 2.32315 2.64558 3.01237 3.42817 准确解 0.00516258 0.0212692 0.0491818 0.0896800 0.143469 准确解 2.04424 2.32751 2.65108 3.01921 3.43656 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 近似解 0.0055 0.0219275 0.0501444 0.0909307 0.144992 2?h2?hnhyn?1?ynyn?1?()yn?1?yn?(?yn?yn?1)y(0)?12?h，2?h。24． ，即又由，则有

2?nh2?hn2h22?hh?22?hhnlimyn?lim()?lim(1?)?lime2?h?e?xnh?02?hh?0h?02?h当h?0时，h?0。

5． 取步长h=0.5，，f(0.5)=0.500000，f(1)=1.14201，f(1.5)=2.50115，f(2)=7.24502。

6． (1) 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 (2) 近似解 近似解 1.24280 0.2 1.72763 1.58364 0.4 2.74302 2.04421 0.6 4.09424 2.65103 0.8 5.82927 3.43655 1.0 7.99601 K?fn，K2?fn?th(fx?ffy)n?o(h)，K3?fn?(1?t)h(fx?ffy)n?o(h)，7． 1则

h2h??yn?hy'n?y\n?yn?(fn?th(fx?ffy)n?fn?(1?t)h(fx?ffy)n)?o(h2)22h2h?hfn?(fx?ffy)?(2fn?h(fx?ffy)n)?o(h2)?o(h2)22

??D??f?x?y，泰勒展开可得K1?fn，8． (1)令

11K2?fn?hDfn?h2D2fn?o(h2)318，2221?2K3?f(xn?h,yn?hK2)?fn?h(D?hDfn)fn?h2D2fn?o(h2)3333?y9，

11yn?1?yn?hfn?h2Dfn?h3(D2f?fyD)fn?o(h3)26同理有， 代入龙格-库塔

3??o(h)。(2) 类似(1)展开可得K1?fn，公式可得

11K2?fn?hDfn?h2D2fn?o(h2)28，3331?9K3?f(xn?h,yn?hK2)?fn?h(D?hDfn)fn?h2D2fn?o(h2)4442?y32，

同理有

yn?1?yn?hfn?121hDfn?h3(D2f?fyD)fn?o(h3)26， 代入龙格-库塔

3??o(h)。 公式可得

hyn?1?yn?(2?yn?1?yn)29． 二阶显式公式为，代入得y(1.0)?0.626，二阶隐式hyn?1?yn?(2?yn?yn?1)2公式为，代入得y(1.0)?0.633，真解为

y(1.0)?0.6321。

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