数值分析复习资料(7)

******?4?3?3?3?(x?x?x)??(x)??(x)??(x)?0.5?10?0.5?10?0.5?10?1.05?101241244．

************?(x1x2x3)?x2x3?(x1)?x1x3?(x2)?x1x2?(x3)?0.214790825**x2x21**?(*)?*?(x2)?*2?(x4)?8.855668?10?6x4x4x4。

?r(R)??r(35． 6． 7．

3V)?4?31?(V)/36?V233V1?(V)1???r(V)?0.0033334?3V3。

?(Y100)?100?111??10?3??10?310022。

x1?28?783?55.982，

??x2?28?783?128?783?1?0.0178655.982。

1?dx??arctgN?N1?x228．

11??(x)??(S)?S2?(S)?0.00529． 。

?r(S)??(S)?gt?(t)?0.1gt10． ，

绝对误差增加，相对误差减小。

1?(y10)?1010?(y0)??108211． ，计算过程不稳定。

gt?(t)2?(t)0.2??12ttgt2，故t增加时S的

66f?(2?1)?0.004096，f?(2?1)?0.0050512?1.4112． ，如果令，则

11f2??0.005233f??0.005125433f?(3?22)?0.008(2?1)6(3?22)，3，，

f5?99?702?1，f4的结果最好。

13．

f(30)??4.094622，开平方时用六位函数表计算所得的误差为

???10?4，

12分别代入

中

等

计

价算

公可

式得

f1(x)?ln(x?x2?1),f2(x)??ln(x?x2?1)1?(x?x2?1)??60??10?4?3?10?32x?x2?1x?x2?1，

??11?(f2)?ln(1?)????10?4?8.33?10?7x?x2?1x?x2?1602。

1000000000999999998x1??1.000000,x2??1.00000099999999999999999914． 方程组的真解为，

?(f1)?ln(1??)??而无论用方程一还是方程二代入消元均解得x1?1.00,x2?1.00，结果十分可靠。

?sbsinc?a?asinc?b?abcosc?c?a?b?ctanc?c?????sabsincabc 15．

第二章 插值法习题参考答案

1.

；

Vn?1(x0,x1,?,xn?1)??(xi?xj)0?j?i?n?1.

(x?1)(x?2)(x?1)(x?2)(x?1)(x?1)L2(x)?0??(?3)??4?(1?1)(1?2)(?1?1)(?1?2)(2?1)(2?1) 2.

537?x2?x?23. 6i?00?j?i?n?1Vn(x)??(x?xi)n?1?(xi?xj),y1??0.510826，则 3. 线性插值：取x0?0.5,x1?0.6,y0??0.693147y?y0ln0.54?L1(0.54)?y0?1?(0.54?x0)??0.620219x1?x0； 二次插值：取

x0?0.4,x1?0.5,x2?0.6,y0??0.916291,y1??0.693147,y2??0.510826，则

ln0.54?L2(0.54)

(0.54?x0)(0.54?x2)(0.54?x0)(0.54?x1)(0.54?x1)(0.54?x2)?y0??y1??y2?(x0?x1)(x0?x2)(x1?x0)(x1?x2)(x2?x0)(x2?x1)

＝－0.616707 .

1R1(x)?f(x)?L1(x)?f??(?)(x?x0)(x?x1)??[x0,x1]. 24. ，其中

1|R1(x)|?max|cos??(x)|?max|(x?x0)(x?x1)|x0?x?x12x0?x?x1所以总误差界

(x1?x0)21?11???8??1???????1.06?10248?60180? .

2l2(x)?5.

(x?x0)(x?x1)(x?x3)(x2?x0)(x2?x1)(x2?x3)

当

x?x0?4?7?h3 时，取得最大值

x0?x?x3max|l2(x)|?10?7727 .

kf(x)?x,(k?0,1,?,n)在x0,x1,?,xn处进行n次拉格朗日插值，则有 6. i) 对

xk?Pn(x)?Rn(x)

??lj(x)xkj?i?0nn1f(n?1)(?)(x?x0)?(x?xn)(n?1)!

kk(x)x?xjj(n?1)f(?)?0，故有i?0由于.

kg(x)?(x?t),在x0,x1,?,xn处进行n次拉格朗日插值，有 ii) 构造函数

?lLn(x)??(xj?t)klj(x)i?0n.

插值余项为

(n?1)g(?)?0,(k?1,2,?,n).故有 由于

kg(n?1)(?)n(x?t)?Ln(x)??(x?xj)(n?1)!j?0kn，

(x?t)?Ln(x)??(xj?t)klj(x).i?0令t?x,即得

?(xi?0n

j?t)klj(x)?0.

7. 以a, b两点为插值节点作f(x)的一次插值多项式

f(b)?f(a)L1(x)?f(a)?(x?a)b?a，

1f(x)?L1(x)?f??(?)(x?a)(x?b),??[a,b]2据余项定理，，

由于f(a)?f(b)?0,故

|f(x)?L1(x)|?|f(x)|?8. 截断误差

R2(x)?1?e(x?x0)(x?x1)(x?x2),??[?4,4].6

11max|f??(x)|max|(x?a)(x?b)|?(b?a)2max|f??(x)|.a?x?ba?x?b2a?x?b8

3hx?x?h,x?x?h,01213时取得最大值 其中 则

2max|(x?x0)(x?x1)(x?x2)|?3?h3?4?x?49 .

12|R2(x)|?e4?(3?h3)?10?6,69由题意，

所以，h?0.006.

x?x1?n?1n2n?2n?1n?1nn?y?2?2,?y?(2?2)?(2?2)?2, 则可得 nn9.

?4yn??2(?2yn)?2n.

?yn?2n?1/2?2n?1/2， ?2yn?(2n?1?2n)?(2n?2n?1)?2n?1，则可得

10. 数学归纳法证

当k?1时，?f(x)?f(x?h)?f(x)为m－1次多项式；

k?f(x)(0?k?m)是m-k 次多项式，设为g(x)，则 假设

?k?1f(x)?g(x?h)?g(x)为m-(k+1)次多项式，得证。

?4yn??2(?2yn)?2n?2.

11. 右?fk(gk?1?gk)?gk?1(fk?1?fk)?fk?1gk?1?fkgk?左 12.

?fk?0n?1k?gk?f0g1?f0g0?f1g2?f1g1???fn?1gn?fn?1gn?1,?fk?f1g1?f0g1?f2g2?f1g2???fngn?fn?1gn.2j

?gk?0n?1k?113.

?(y2?y1)?(y1?y0)?(y3?y2)?(y2?y1)???(yn?1?yn)?(yn?yn?1) ?(yn?1?yn)?(y1?y0)??yn??y0 .

j?0??yn?1

14. 由于x1,x2,?,xn是f(x)的n个互异的零点，所以

f(x)?a0(x?x1)(x?x2)?(x?xn)nni?1i?1i?j

?a0?(x?xi)?a0(x?xj)?(x?xi),对f(x)求导得

?n?nf?(x)?a0??(x?xi)?(x?xj)(?(x?xi))???i?0?i?1??i?j?i?j?，

f?(xj)?a0?(xj?xi)n则

i?1i?j?j?1n1?f?(xj)a0xkj?j?1n，

xkj?(xi?1i?jn.

j?xi)?0,0?k?n?2,(n?1)g(x)??kg(x)?x,?(n?1)!,k?n?1. 记k则 由以上两式得

nxkgk(xj)1n1j??gk[x1,x2,?,xn]??n?f(x)aaj?1j0j?1?(xj?xi)0i?1i?j(?)?0,0?k?n?2,1gk????1a0(n?1)!?a0,k?n?1. nF(xj)F[x0,x1,?,xn]??j?0(xj?x0)?(xj?xj?1)(xj?xj?1)?(xj?xn)15. i)

nc?f(xj)???c?f[x0,x1,?,xn]j?0(xj?x0)?(xj?xj?1)(xj?xj?1)?(xj?xn)(n?1)

.

ii) 证明同上。

f(7)(?)7!f[2,2,?,2]???1;7!7!16. f(8)(?)018f[2,2,?,2]??0.7!

?R3(xj)?f(xj)?p(xj)?0,R3(xj)?f?(xj)?p?(xj)?0,j?k,k?1.17. 即xk,xk?1均为R3(x)的二重零点。因而有形式：

01722?(t)?f(t)?p(t)?K(x)(t?x)(t?x). kk?1作辅助函数

R3(x)?K(x)(x?xk)2(x?xk?1)2.

??则 ?(xk)?0,?(x)?0,?(xk?1)?0,?(xk)?0,?(xk?1)?0. 由罗尔定理，存在?1?(xk,x),?2?(x,xk?1),使得

??(?1)?0,??(?2)?0.

类似再用三次罗尔定理，存在??(?1,?2)?(xk,xk?1),使得 ?(4)(?)?0, 又 ?(4)(t)?f(4)(t)?4!K(x),

(4)可得 K(x)?f(?)4!,

(4)22R(x)?f(?)(x?x)(x?x)4!.,??(xk,xk?1). 3kk?1即

18. 采用牛顿插值，作均差表：

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