数值分析复习资料(5)

15. 取h=0.2用差分方法解边值问题

x2?xy(x)?.2

?(1?x2)y???xy??3y?6x?3;??y(0)?y?(0)?1,y(1)?2.

第六章 方程求根

21. 用二分法求方程x?x?1?0的正根，要求误差<0.05。

x2. 用比例求根法求f(x)?1?xsinx?0在区间[0,1]内的一个根，直到近似根k满足精度

|f(xk)|?0.005时终止计算。

3. 为求方程x?x?1?0在

建立相应的迭代公式。

32x0?1.5附近的一个根，设将方程改写成下列等价形式，并

22x?1?1/xx?1?1/xk?1k1），迭代公式；

2）x?1?x，迭代公式

322xk?1?31?xk；

x2?3）

试分析每种迭代公式的收敛性，并选取一种公式求出具有四位有效数字的近似根。 4. 比较求e?10x?2?0的根到三位小数所需的计算量； 1）在区间[0,1]内用二分法；

xkx?(2?e)/10，取初值x0?0。 k?12) 用迭代法

??5. 给定函数f(x)，设对一切x,f(x)存在且0?m?f(x)?M，证明对于范围内

0???2/M的任意定数λ，迭代过程xk?1?xk??f(xk)均收敛于f(x)的根x?。 6. 已知x??(x)在区间[a,b]内只有一根，而当a

x1x?1，迭代公式xk?1?1/xk?1。

|??(x)|?k?1，

试问如何将x??(x)化为适于迭代的形式？ 将

x?tgx化为适于迭代的形式，并求x=4.5（弧度）附近的根。

3?x?2f(x)?x?3x?1?0x07. 用下列方法求在附近的根。根的准确值＝

1.87938524…，要求计算结果准确到四位有效数字。

1) 用牛顿法； 2）用弦截法，取

x0?1,x1?1.9；

x0?1,x1?3,x2?2。

8. 用二分法和牛顿法求x?tgx?0的最小正根。

3）用抛物线法，取9. 研究求a的牛顿公式

xk?1?证明对一切

1a(xk?),x0?0,2xk

k?1,2,?,xk?a且序列x1,x2,?是递减的。

x?xk?f(xk)/f?(xk)，证明

10. 对于f(x)?0的牛顿公式k?1??????f(x)/(2f(x))，这里x?为f(x)?0的根。 收敛到

Rk?(xk?xk?1)/(xk?1?xk?2)2

11. 试就下列函数讨论牛顿法的收敛性和收敛速度：

??x,x?0;f(x)??????x,x?0; 1)

23??x,x?0;f(x)????3x2,x?0.?2)

3212. 应用牛顿法于方程x?a?0，导出求立方根a的迭代公式，并讨论其收敛性。

f(x)?1?13. 应用牛顿法于方程值。

a?02x，导出求a的迭代公式，并用此公式求115的

f(x)?1?a?0nnx，分别导出求a的迭代公

nf(x)?x?a?0和14. 应用牛顿法于方程

式，并求

lim(na?xk?1)/(na?xk)2.k??15. 证明迭代公式

xk?1?x0ax是计算的三阶方法。假定初值充分靠近根，求

lim(a?xk?1)/(a?xk)3.x(x?3a)?kk23xk?a

2k??

第七章 解线性方程组的直接方法

1. 考虑方程组：

?0.4096x1?0.1234x2?0.2246x?0.3872x?12??0.3645x1?0.1920x2??0.1784x1?0.4002x2?0.3678x3?0.2943x4?0.4043;?0.4015x3?0.1129x4?0.1550;?0.3781x3?0.0643x4?0.4240;?0.2786x3?0.3927x4??0.2557;

(a) 用高斯消去法解此方程组（用四位小数计算），

(b) 用列主元消去法解上述方程组并且与(a)比较结果。

2. (a) 设A是对称阵且a11?0，经过高斯消去法一步后，A约化为

?a11??0证明A2是对称矩阵。

(b)用高斯消去法解对称方程组：

T?a1?A2?

4. 设A为n阶非奇异矩阵且有分解式A=LU，其中L为单位下三角阵，U为上三角阵，求证A的所有顺序主子式均不为零。 5. 由高斯消去法说明当上三角阵。

;?0.6428x1?0.3475x2?0.8468x3?0.4127?;?0.3475x1?1.8423x2?0.4759x3?1.7321??0.8468x?0.4759x?1.2147x??0.8621.123?

?i?0(i?1,2,?,n?1)时，

则A=LU，其中L为单位下三角阵，U 为

|aii|??|aij|(i?1,2,?,n),n6. 设A 为n阶矩阵，如果

对角优势阵，经过高斯消去法一步后，A具有形式

j?1j?i称A为对角优势阵。证明：若A是

?a11??0?a11??0其中

T?a1?A2?。 T?a1?A2?，

7. 设A是对称正定矩阵，经过高斯消去法一步后，A约化为

A?(aij)n,A2?(aij)n?1;(2)

证明 （1）A的对角元素ii（2）A2是对称正定矩阵；

a?0(i?1,2,?,n);

(n)a?aii,(i?1,2,?,n); n（3）

（4）A的绝对值最大的元素必在对角线上； （5）

2?i,j?n(2)max|aij|?max|aij|;2?i,j?n

（6）从（2），（3），（5）推出，如果

|aij|?1，则对所有k

(k)|aij|?1.8. 设

Lk为指标为k的初等下三角阵，即

?1????????1Lk???m1k?1,k????????m1??nk??（除第k列对角元下元素外，和单位阵I相同） ~IL?IijLkIij求证当i,j?k时，k也是一个指标为k的初等下三角阵，其中ij为初等排

列阵。

9. 试推导矩阵A的Crout分解A=LU的计算公式，其中L为下三角阵，U为单位上三角阵。 10. 设Ux?d，其中U为三角矩阵。

(a) 就U为上及下三角矩阵推导一般的求解公式，病写出算法。 (b) 计算解三角形方程组Ux?d的乘除法次数。 (c) 设U为非奇异阵，试推导求U?1的计算公式。

?111. 证明（a）如果A是对称正定阵，则A也是正定阵；

（b）如果A是对称正定阵，则A可唯一写成A?LL,其中L是具有正对角元的下三角阵。 12. 用高斯－约当方法求A的逆阵：

T?21?3?1??310?7?A????124?2???10?15??

13. 用追赶法解三对角方程组Ax?b，其中

00??2?10?1???12?10??0?0????A??0?12?10?,b??0?????00?12?1???0???00?12??0??0??14. 用改进的平方根法解方程组

15. 下述矩阵能否分解为LU（其中L为单位下三角阵，U为上三角阵）？若能分解，那么分

解是否唯一？

?2?11??x1??4???1?23??x???5?.???2????31??1???x3????6??

16. 试划出部分选主元素三角分解法框图，并且用此法解方程组

?123??111??126??,B??221?,C??2515?.A??241??????????467???331???61546??

?034??x1??1??1?11??x???2????2?????212????x3????3??.

17. 如果方阵A 有

aij?0(|i?j|?t)r?1，则称A为带宽2t+1的带状矩阵，设A满足三角分解

条件，试推导A?LU的计算公式，对r?1,2,?,n.

uri?ari?1）

rkkik?max(1,i?t)?lr?1u (i?r,r?1,?,min(n,r?t))；

(i?r?1,?,min(n,r?t)).

lir?(air?2）18. 设

ikkrk?max(1,i?t)?lu)/urr?0.60.5?A???0.10.3??，

计算A的行范数，列范数，2-范数及F-范数。

19. 求证

(a) ||x||??||x||1?n||x||?，

1(b)

n||A||F?||A||2?c2||A||F。

n?nn且非奇异，又设||x||为R上一向量范数，定义

20. 设 P?R||x||p?||Px||试证明

。

||x||pn?nn是R上的一种向量范数。

21. 设A?R为对称正定阵，定义

||x||A?(Ax,x)1/2，

n试证明||x||A为R上向量的一种范数。

nTx?R,x?(xx,?,x)12n22. 设，求证

lim(?||xi||p)1/p?maxxi?||x||?y??i?11?i?nn。

Tx23. 证明：当且尽当x和y线性相关且y?0时，才有

||x?y||2?||x||2?||y||2。

224. 分别描述R中（画图）

Sv?{x|||x||v?1,x?R2},(v?1,2,?)。

25. 令

?n是R（或C）上的任意一种范数，而P是任意非奇异实（或复）矩阵，定义范

n?1??||x||?||Px||||A||?||PAP||。 数，证明

26. 设

||A||s,||A||t为Rn?n上任意两种矩阵算子范数，证明存在常数c1,c2?0，使对一切

c1||A||s?||A||t?c2||A||s

A?Rn?n满足

TTn?nTT?(AA)??(AA)。 A?RAAAA27. 设，求证与特征值相等，即求证

28. 设A为非奇异矩阵，求证

||A||?y?0||y||||A?1||??。

?1?1(A??A)||A||||?A||?129. 设A为非奇异矩阵，且，求证存在且有估计

1?min||?A||||A?1?(A??A)?1||||A||?.||?A||||A?1||1?cond(A)||A||

cond(A)30. 矩阵第一行乘以一数，成为

?2???A???11??。

???证明当

23时，cond(A)?有最小值。

TT1/2T31. 设A为对称正定矩阵，且其分解为A?LDL?WW，其中W?DL，求证

2cond(A)?[cond(?)]; 22(a)

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