断裂力学讲义(17)

（fⅠ ）

0

KⅠ

2

因此有

（3—16） （3—16

知道了裂纹对应的解析函数ZⅠ( )，就可以利用（3—16）式求出应力强度因子。 因此，在裂纹尖端处 →0的一个很小的范围内，解析函数ZⅠ( )可以写成

Z（ （fⅠ Ⅰ ）

0

1

KⅠ

（3—17） 2为研究方便，取极坐标系，令

ξ=r .eiθ=r(cosθ+isinθ) （3—18）

（3—18）代入（3—17）得

KⅠ i2KⅠ

Z（ ） e cos isin （3—19） Ⅰi 22 2 r2 r 2 re

（3—17）对ξ求导后再把（3—18）代入得

33

KⅠ 1 2KⅠ 2 3 3

Z（ ） rcos isin （3—20） Ⅰ

222 2 22

（3—17）对ξ积分后再把（3—18）代入得

1 KⅠ2KⅠ12KⅠ1 ~222 Z（ ） d rcos isin （3—21） Ⅰ 222 2 2

KⅠ

将（3—19）、（3—20）和（3—21）中的实部和虚部分开，再将y=rsinθ=2rsin

cos与这些实22

部和虚部一起代入（3—8）、（3—9）和（3—10）并整理得

K 3 x Ⅰcos 1 sinsin

2 22 2 r

K 3

y Ⅰcos 1 sinsin （3—22）

2 22 2r

K 3

xy Ⅰsincoscos

2222 r

Kr u Ⅰcos 1 2sin2

2G2 2 2

KⅠr v sin 1 2cos2

（3—23） 2G2 2 2

3

（平面应力状态）E

其中，G ， 1

（21 ） 3 4 （平面应变状态）

说明：

（1）推导过程中用了→0的条件，所以（3—22）和（3—23）只适用于裂纹尖端附近区域，

（ a）

来确定

（ 2a）

各应力分量和位移分量，叫做全解。这样求出的各应力分量与（3—22）的各应力分量的差值，就即要求r＜＜a，叫做渐进解。而对于稍远处，应该用（3—13）给出的ZⅠ( )

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