断裂力学讲义(15)

~ 2 I 2~~

[ReZI(z) yImZI(z)]

x y x y

(z) yReZⅠ

将以上各式代入（3—1），可得

2 I

(z) ReZI(z) yImZⅠ x 2

y 2 I

(z) （3—8） y ReZI(z) yImZⅠ

2 x

2 I

(z) yReZⅠ xy

x y

将（3—8）代入（3—2）式，可得

11

(z)] ( ) [(1 )ReZI(z) y(1 )ImZⅠxxy E E

（3—9）

1( ) 1[(1 )RZ(z) y(1 )IZ (z)]yyxeImⅠ E E

将（3—9）代入（3—3）式，并积分，得

1~

u [(1 )RZeI(z) y(1 )ImZI(z)] E

（3—10）

1~ v [2IZ(z) y(1 )RZ(z)]

mIeI E

因此，找到解析函数ZI(z)，就可以得到Westergaard应力函数，于是裂纹尖端处的应力场和位移场就可以由公式（3—8）和（3—10）求得。因此问题的关键是找一个具体的解析函数ZI(z)，代入（3—8）式，所得到的应力分量应能满足图3—1所示问题的全部边界条件

2．解析函数ZI(z)的确定

将x坐标系取在裂纹面上，坐标原点取在裂纹中心，则图3—1所示问题的边界条件为： （1）当y=0，x→∞时， x y 。

（2）在y=0，x a的裂纹自由面上， x 0, xy 0；而在x a时，随x a， y 。

（我们就是要利用这两个边界条件确定Z。 Ⅰz）

由（3—8）式可知，当y=0时

x y ReZⅠ(z), xy 0，且

z=x+iy=x。

因为问题是关于y轴对称的，所以ZⅠ(x)中的含x项应该是平方项；又因为x a时， y ，

a

所以ZⅠ(x)的分母中应有1－ 的因式。

x

a

又因为当x→∞时，1－ →1，而此时要求 x y ReZⅠ(z)=σ，因此分子应该取σ。

x

综上所述，试选

2

2

ZⅠ(x)

a 1 x

2

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