断裂力学讲义(10)

P =－U+T+Λ

2E( ) P 2 A c a 0 2( )

A2Et a 2E( )

c 2

对于金属材料，通常Γ比γ大三个数量级，因此上面的三个式子变成了

2A

4Et 2E

c Orowan断裂判据 （2—9）

a

2E a c2

2 A

第一式表明：当 Γ,即裂纹扩展单位面积释放的应变能恰好等于内力对塑性变形所做的

4Et

2 A 2 A

塑性功时，裂纹处于不稳定平衡状态；当裂纹就会失稳扩展而断裂；当 Γ时， Γ时，

4Et4Et

裂纹就不会扩展（处于静止状态）。

第二式表明：当裂纹长度a给定时，如果板两端的应力σ= C，则裂纹将处于不稳定平衡状态；如果 σ＞ C，裂纹就会失稳扩展而断裂；如果σ＜ C，裂纹就不会扩展（处于静止状态）。 第三式表明，当板两端的应力σ给定时，如果裂纹长度a=aC，则裂纹将处于不稳定平衡状态；如果 a＞aC，裂纹就会失稳扩展而断裂；如果a＜aC，裂纹就不会扩展（处于静止状态）。

以上三个断裂判据是等效的。

几点说明：

1．Orowan理论是Griffith理论的修正。可用于金属；

2．这几个公式是由薄板导出的，对应平面应力状态，在公式中用

E

代替E，就得到平面2

1

应变状态下的Orowan断裂判据。

下面我们从更广义的功能转换关系出发，来研究裂纹扩展过程。由此可以得到 3．能量释放率断裂判据

设一个裂纹的面积为A，在裂纹面积扩展了dA的过程中，载荷所做的功为dW，体系的弹性应变能增加了dU，塑性功增加了dΛ，裂纹表面能增加了dT。dU、dΛ和dT都属于系统的内能，第一项是弹性应变能，属于保守内能，后两项属于耗散内能。假定这个过程是准静态绝热过程，也就是说不考虑热功转换，则根据能量转换与守恒定律，体系内能的增加应等于外力功，因此有 dU+dΛ+dT = dW

其中，dU+dΛ是裂纹面积扩展dA需要消耗的能量，也就是阻止裂纹扩展的能量。因此要使裂纹扩展，系统必须提供能量。设裂纹面积扩展dA时弹性系统释放出的能量为－dΠ，这部分能量转化为体系的耗散内能增量。因此，外力做功dW可以转化为两部分；一部分是体系的弹性应变能增量dU，另一部分是体系的耗散内能增量-dΠ，因此有

耗散内能增量+弹性应变能增量=外力功

即

－dΠ+dU = dW

由此得

－dΠ= dW－dU （2—10）

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