2006经济数学基础期末复习指导
A．
12 B．0 C．1 D．2
13． 线性方程组
AX?0只有零解，则AX?b(b?0)（B）.
A. 有唯一解 B. 可能无解 C. 有无穷多解 D. 无解
14．设线性方程组AX=b中，若r(A, b) = 4，r(A) = 3，则该线性方程组（B ）． A．有唯一解 B．无解 C．有非零解 D．有无穷多解
15．设线性方程组二、填空题 1．两个矩阵
AX?b有唯一解，则相应的齐次方程组AX?O（ C ）．
A．无解 B．有非零解 C．只有零解 D．解不能确定
A,B既可相加又可相乘的充分必要条件是 A与B是同阶矩阵 .
?2??300???12??0?= 2．计算矩阵乘积????011???1???3．若矩阵A =
[4] ．
??23?1?． ?4?62? ??4．设A为m?n矩阵，B为s?t矩阵，若AB与BA都可进行运算，则m,n,s,t有关系式 m?t,n?s ??12?，B = ?2?31?，则ATB= ．
?102???35．设A?a0??，当a? ??23?1??7．设
0 时，A是对称矩阵. 6．当a ?13???3 时，矩阵A??可逆. ???1a?．
A,B为两个已知矩阵，且I?B可逆，则方程A?BX?X的解X? (I?B)?1A
?2?12???028．设A为n阶可逆矩阵，则r(A)=n ． 9．若矩阵A =4??，则r(A) = ??0?33?? 10．若r(A, b) = 4，r(A) = 3，则线性方程组AX = b 无解 ．11．若线性方程组?2 ．
?x1?x2?0有非零解，则??
?x1??x2?0-1 ．
12．设齐次线性方程组
Am?nXn?1?0，且秩(A) = r < n，则其一般解中的自由未知量的个数等于 n – r ．
?x1??2x3?x4 (其中x3,x4?x?2x4?2?1?123??10?2?则此方程组的一般解为 13．齐次线性方程组AX?0的系数矩阵为A?0????0000??是自由未知量) .
14．线性方程组
AX?b的增广矩阵A化成阶梯形矩阵后为
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0??1201?A??042?11??
??0000d?1??则当d
?1
时，方程组
AX?b有无穷多解.
15．若线性方程组
AX?b(b?0)有唯一解，则AX?0
只有0解 .
三、计算题
?102??211．设矩阵A????124?，B????13?T?11?，求(2I?A)B．
??3??3???0???100??102T?200??1?13??11解 因为
2I?AT=
???2?010???12=????4???020??21?=?00?001????311???02????0???0???241?????2?4?11?3??21??1?5?所以
(2I?AT)B=??00?1???13?=???41?????0?3?? ??2???03????0?11??2．设矩阵
A???102???212???61??1?20?，?B??010???，C???22??，计算BAT?C．
?002?????42???212??11???61??60???61??01解：BAT?C=??010?02?????0?2?????22??=??0?2?????22?? =??20??
??0???20?????42????40?????42????02???3．设矩阵A =??13?6?3???4?2?1?，求A?1．
???211???3．解 因为 (A I )=
??13?6?3100??114107???4?2?1010???001??211001???012???001? ?211???114107????001012??1101?4?1???0010??13???12?
??0?1?7?20???0?10?271???100?130?0?0????0?10?271??100?13??13????0102?7?1?? 所以 A-
1 =??7?1?12??2? ??0010???001012????012??第 32 页 共 38 页
?3??1?1???
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?4．设矩阵A =?012??114?，求逆矩阵A?1．
???2?10???解 因为(A I ) =?012100??114010??114010???012100?10001???80?21? ??2????0?3????102?110????012100????1002?11??1002?11???0104?21?????0104?21??
??00?23?21????00?23?21????001?321?12???2?11? 所以 A-
1=
??4?21??? ??321?12??5．设矩阵 A =??10?2??，B =?63?12?，计算(AB)-
1
20． ?1???????41??解 因为AB =??10?2???63??2012?=??21? (AB,I ) =??2110???2110? ?1?????41???????????4?1??4?101??0121?1??1?????20?1?1??1-= ?1?0121????10?22? 所以 (AB)1
?0121?2? ??2?21???6．设矩阵 A =?11??0?2?，B =?12?3?-
1
???，计算(BA)．?20???0?12? ?解 因为BA=??1?12?3??1?=
??0?12???0?2???5?3? (BA I)=
???5?310???1???20???42???4201?????4???11?1?1??10132??? 所以 (BA)-
1=?132?? ?0?245??????01?2?52?????2?52? ?7．解矩阵方程???2?3???1??34??X???2?．
?解 因为???2?310??1111??1111??1043? ?3401?????3401?????01?3?2?????01?3?2??第 33 页 共 38 页
?111?201??
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即
??2?3??34????13?3???1??2??4?4?? 所以，X =???3?2??2?=??1?
?3?2????????8．解矩阵方程
?12??1?1?X????20?.
35????解：因为?10??1210??12?10?52? ????????3501??0?1?31??013?1??1即
?12??35?????52??1?1??12???? 所以，X =?20??35?3?1???????1?1?1???52?=???3?1?= 20??????83???104? ??9．设线性方程组
?x3?2?x1??x1?2x2?x3?0 讨论当a，b为何值时，方程组无解，有唯一解，有无穷多解. ?2x?x?ax?b23?112?12??1012??10?10?12?10???02???01??2?2?1?1?????? ????21?ab???01?a?2b?4???00?a?1b?3??解 因为
所以当a??1且b?3时，方程组无解；当a??1时，方程组有唯一解；当a??1且b?3时，方程组有无穷多解.
10．设线性方程组
?2x3??1?x1???x1?x2?3x3?2，求其系数矩阵和增广矩阵的秩，并判断其解的情况. ?2x?x?5x?023?102?1?2?1??1?10?102?1?????01?11???01?11?1?32解 因为A??1?????? ???0?2?3??2?15??0?11??000?所以 r(A) = 2，r(A) = 3. 又因为r(A) ? r(A)，所以方程组无解.
11．求下列线性方程组的一般解：
?2x3?x4?0?x1???x1?x2?3x3?2x4?0 ?2x?x?5x?3x?0234?1解 因为系数矩阵
02?1?2?1??1?10?102?1????01?11???01?11?A???11?32??????
??0???2?15?3???0?11?1???000?第 34 页 共 38 页
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所以一般解为??x1??2x3?x4 （其中x3，x4是自由未知量）
?x2?x3?x4
12．求下列线性方程组的一般解：
?2x1?5x2?2x3??3? ?x1?2x2?x3?3??2x?14x?6x?12123??2?52?3??12?13??10?191????0?94?9???01?491?A??12?13??????
???00???214?612???018?818???00?解 因为增广矩阵
1?x?x3?11??9所以一般解为? （其中x3为自由变量）
?x?4x?123?9? 13．设齐次线性方程组
?x1?3x2?2x3?0??2x1?5x2?3x3?0 问?取何值时方程组有非零解，并求一般解. ?3x?8x??x?023?1解 因为系数矩阵
2??1?32??1?3?10?1???????01?1?1?1 A =2?53?0?????? ????3?8????01??6???00??5??所以当? = 5时，方程组有非零解. 且一般解为
?x1?x3 （其中x3是自由未知量） ?x?x3?2?x1?x2?x3?1?14．当?取何值时，线性方程组?2x1?x2?4x3?? 有解？并求一般解.
??x?5x3?1?1解 因为增广矩阵
11??1111??11?10?5?1?A??21?4????0?1?6??2???0162?
??????62???????1051????01??000? 所以当?=0时，线性方程组有无穷多解，且一般解为：
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