2006经济数学基础期末复习指导(6)

2006经济数学基础期末复习指导

11．设y?e?5x?tanx，求dy．

sin112．计算不定积分

?xx2dx.

四、线性代数计算题（每小题15分，共30分）

?13．设矩阵A???13?6?3???4?2?1???1?????,B??0，求A1B。

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?x1+2x3?x4?0?14．求线性方程组??x1?x2?3x3?2x4?0的一般解。

?2x?x?5x?3x?034?12⒈

sin?11sinxdx 解 xdx??sin1d(1)?cos1?c

?x2?xxxx22．

?2xdxx 解

?2xdxx?2?2xd(x)?22ln2x?c

3．

?xsinxdx 解 ?xsinxdx??xcosx??cosxdx??xcosx?sinx?c

4．

?(x?1)lnxdx 解

11(x?1)22?(x?1)lxndx=2(x?1)lnx?2?xdx

5．

e1?ln30e(1?e)dxdxxx2解

e1?xln30e(1?e)dxexx2=

?ln30(1?e)d(1?e)eex2x=

1(1?ex)33ln30=

56 36．

?lnxx 解

?lnxdx??lnxd(2x)?2xlnx??2xd(lnx)

111e1?2e??e212xdx?2e?4xe1?2e??e12xdx?4?2e

7．

?1dxx1?lnx 解

?e21x1?lnx1dx=

?e211?lnx?1d(1?lnx)=

21?lnx?e21=

2(3?1)

8．

?π20??xcos2xdx 解

?20111212xcos2xdx=xsin2x-?2sin2xdx=cos2x=?

0224020?1lnx(?1)dx?xln(x?1)e0??e?10e?1x1dx =e?1??(1?)dx

0x?1x?19．

?e?10ln(x?1)dx 解

?e?10 =e?1?[x?ln(x?1)]e?10＝lne=1

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四、应用题

1．投产某产品的固定成本为36(万元)，且边际成本为C?(x)=2x + 40(万元/百台). 试求产量由4百台增至6百台时总成本的增量，及产量为多少时，可使平均成本达到最低.

解 当产量由4百台增至6百台时，总成本的增量为

64?C??(2x?40)dx=(x?40x)4x0062= 100（万元）

C?(x)dx?c?又 C(x)?x令

36x2?40x?36= =x?40?

xx?36C(x)?1?2?0， 解得x?6.

x x = 6是惟一的驻点，而该问题确实存在使平均成本达到最小的值. 所以产量为6百台时可使平均成本达到最小.

2．已知某产品的边际成本C?(x)=2（元/件），固定成本为0，边际收益R?(x)=12-0.02x，问产量为多少时利润最大？在最大利润产量的基础上再生产50件，利润将会发生什么变化？

解 因为边际利润L?(x)?R?(x)?C?(x)=12-0.02x –2 = 10-0.02x 令L?(x)= 0，得x = 500

x = 500是惟一驻点，而该问题确实存在最大值. 所以，当产量为500件时，利润最大.

当产量由500件增加至550件时，利润改变量为

550?L??(10?0.02x)dx?(10x?0.01x2)500550500 =500 - 525 = - 25 （元）

即利润将减少25元.

3．生产某产品的边际成本为C?(x)=8x(万元/百台)，边际收入为R?(x)=100-2x（万元/百台），其中x为产量，问产量为多少时，利润最大？从利润最大时的产量再生产2百台，利润有什么变化？

L?(x) =R?(x) -C?(x) = (100 – 2x) – 8x =100 – 10x

令L?(x)=0, 得 x = 10（百台）

又x = 10是L(x)的唯一驻点，该问题确实存在最大值，故x = 10是L(x)的最大值点，即当产量为10（百台）时，利润最大. 又

L??L?(x)dx??(100?10x)dx?(100x?5x2)10??20

1010121212

即从利润最大时的产量再生产2百台，利润将减少20万元. 4．已知某产品的边际成本为C?(x)解：因为总成本函数为

?4x?3(万元/百台)，x为产量(百台)，固定成本为18(万元)，求最低平均成本.

C(x)??(4x?3)dx=2x2?3x?c

当x = 0时，C(0) = 18，得 c =18 即 C(x)=2x2?3x?18

又平均成本函数为

令

A(x)?C(x)18?2x?3? xxA?(x)?2?18?0， 解得x = 3 (百台) x2该题确实存在使平均成本最低的产量. 所以当x = 3时，平均成本最低. 最底平均成本为

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A(3)?2?3?3?18?9 (万元/百台) 3C(x)?3?x(万元)，其中x为产量，单位：百吨．销售x百吨时的边际收入为R?(x)?15?2x 5．设生产某产品的总成本函数为 （万元/百吨），求： (1) 利润最大时的产量；

(2) 在利润最大时的产量的基础上再生产1百吨，利润会发生什么变化？ 解：(1) 因为边际成本为 令L?(x)C?(x)?1，边际利润L?(x)?R?(x)?C?(x) = 14 – 2x

?0，得x = 7

由该题实际意义可知，x = 7为利润函数L(x)的极大值点，也是最大值点. 因此，当产量为7百吨时利润最大. (2) 当产量由7百吨增加至8百吨时，利润改变量为

?L??(14?2x)dx?(14x?x)78287 =112 – 64 – 98 + 49 = - 1 （万元）即利润将减少1万元.

15．已知某产品的边际成本C'(q) =2(元/件)，固定成本为0，边际收入R' (q) =12一0.02q(元/件) ，求： (1)产量为多少时利润最大?

(2)在最大利润产量的基础上再生产50件，利润将发生什么变化？

经济数学基础综合练习

三 线性代数

一、单项选择题

1．设A为3?2矩阵，B为2?3矩阵，则下列运算中（ A ）可以进行. A．AB B．AB C．A+B D．BA 2．设A,B为同阶可逆矩阵，则下列等式成立的是（B ） A. (AB) C.

TT

T

?ATBT

B.

(AB)T?BTAT

(ABT)?1?A?1(BT)?1 D. (ABT)?1?A?1(B?1)T

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3．设

． A,B为同阶可逆方阵，则下列说法正确的是（D ）

T A. 若AB = I，则必有A = I或B = I B.(AB) C. 秩(A?B) 4．设

?ATBT

?秩(A)?秩(B) D.(AB)?1?B?1A?1

． A,B均为n阶方阵，在下列情况下能推出A是单位矩阵的是（ D ）

A．AB5．设 A.

?B B．AB?BA C．AA?I D．A?1?I

A是可逆矩阵，且A?AB?I，则A?1?（C ）.

B.

B 1?B C. I?B

D.

(I?AB)?1

＝（ D ）．

6．设

A?(12)，B?(?13)，I是单位矩阵，则ATB?I A．???1?2???2?2???13???23? B． C． D． ???????6?5??3?3??26???25?7．设下面矩阵A, B, C能进行乘法运算，那么（ B ）成立. A．AB = AC，A ? 0，则B = C B．AB = AC，A可逆，则B = C C．A可逆，则AB = BA D．AB = 0，则有A = 0，或B = 0

8．设 A.kAA是n阶可逆矩阵，k是不为0的常数，则(kA)?1?（C

?1）．

B.

1?1A kn C. ?kA?1 D.

1?1A k

?120?3??3?，则r(A) =（ D ） 9．设A?00?1． ????24?1?3?? A．4 B．3 C．2 D．1

?13? 10．设线性方程组AX?b的增广矩阵通过初等行变换化为?0?1?00??00数为（ A ）．

A．1 B．2 C．3 D．4

130026?14??2?1??00?，则此线性方程组的一般解中自由未知量的个

?x1?x2?1 11．线性方程组? 解的情况是（A

x?x?02?1）．

A. 无解 B. 只有0解 C. 有唯一解 D. 有无穷多解 12．若线性方程组的增广矩阵为

?1?2?，则当?＝（ A????210?B）时线性方程组无解．

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