数学必修三学案(8)

制），我们可以把需要转化的数化成十进制数，然后再把十进制数化为要转化的数．

【解析】

154(6)?1?62?5?61?4?60?70(10)，

把70(10)化为七进制数 7|70 （余0 7|10 （余3 7|1 （余1 0

70(10)?130(7)

所以154(6)化为七进制的数130(7)． 精彩反思 1.进位制的转化

⑴进制数转化十进制数的方法是把k进制数写成各位数字与k的幂的乘积之和，从右起 第i位数字对应的k的幂指数是i?1；

⑵十进制数转化为k进制数用除k取余法，短除法要除到商为0才停止；

十六 0 1 2 3 4 5 6 7 进制 十进制 0 1 2 3 4 5 6 7 十六 8 9 A B C D E F 进制 十进制 8 9 10 11 12 13 14 15 ⑶两非十进制的不同数制相互转化时，可以先把一数制转化为十进制，再把十进制转化为另一数制．

2.不同进制数运算通常是先转化为十进制数再计算，计算的结果是十进制数，根据需要，可以把十进制数结果再转化为k进制数．

【自我测评】

1.下列表示数的形式正确的有（ ） Ａ．4212(3) Ｂ．32413(5) Ｃ．825(6) Ｄ．1253154(4)

2.以下给出的各数不可能是八进制数的是（ ） Ａ．312 Ｂ．10110 Ｃ．82 Ｄ．7457 3.把“二进制”数1011011(2)化为“五进制”数是

（ ）

Ａ．324(5) Ｂ．234(5) Ｃ．331(5) Ｄ．423(5)

4.将二进制数1101化为十进制数为（ ） Ａ．10 Ｂ．11 Ｃ．12 Ｄ．13

5.下列二进制数中最大的数是（ ） Ａ．111(2) Ｂ．1001(2) Ｃ．110(2) Ｄ．101(2) 6.下列各数中最小的数是（ ） Ａ.111111(2) Ｂ.210(6) Ｃ.1000(4) Ｄ.81(8)

【拓展迁移】

思维提升 7.若k进制数123(k)与十进制数38相等，则

k?______．

8.211(3)?13(4)?10(10)?_____(10)．

9.计算机中常用十六进制是逢16进1的计数制，采用数字0～9和字母A～F共16个计数符号，这些符号与十进制的数的对应关系如下表：

例如，用十六进制表示：E?D?1B，则A?B是（ ）

Ａ．6E Ｂ．72 Ｃ．5F Ｄ．B0

视野拓展 江泽涵

江泽涵于1902年10月6日出生于安徽省旌德县，1927年赴美国哈佛大学攻读博士学位．1931年回国，受聘在北京大学数学系任教授，1955年江泽涵被选为中国科学院学部委员，他还是中国国家科学技术委员会数学学科组成员．江泽涵在数学上的贡献主要在拓扑学方面， 江泽涵最先将拓扑学的临界点理论直接用到分析中去，得到了关于调函数的重要结果．江泽函在复迭空间和纤维丛方面进行了深入的研究，并证明了不可定向流形M的任一可定向复迭必是M可定向二叶复迭形M的复迭形，且M有一个周期为2的、无不动点的、反定向的自同胚．他计算了n维球面的有线素流形的同调群，江泽涵也对不

动点理论进行了长期的研究．

章末复习方略

【知识网络表解】

解算法含义． 2.框图设计

通过模仿、操作、探索，经历设计程序框图表达解决问题的过程，在具体问题的解决过程中理解程序框图的三种基本逻辑结构：顺序、条件分支、循环． 3.程序设计

经历将具体问题的程序框图转化为程序语言的过程，理解几种基本算法语句（输入语句、 输出语句、赋值语句、条件语句、循环语句），体会算法的基本思想． 4.案例算法思想应用

【知识精要归纳】

本章考点包括算法的含义、自然语言描述算法、程序框图、程序设计、应用典型案例的算法思想设计算法解决问题．

1.算法的含义和自然语言描述

要借助实例体会自然语言描述过程，体现算法的概括性、抽象性、正确性、有效性、有穷性等特点，通过解决具体问题的过程和步骤的分析（如二元一次方程组的算法等问题），体会算法思想，了

理解辗转相除法、更相减损术、秦九韶算法、

进位制及其相互转化等算法的思想，并能熟练应用解决求最大公约数、求多项式的值、进位制互相转化等问题．

【学海拾贝】

（一）自然语言描述算法

用自然语言描述算法解决问题的过程大体可分为三步：

第一步，明确问题的性质，分析题意，我们将问题可简单地分为两类：数值性问题和非数值性问题不同类型的问题可以有针对性地采用不同的方法进行处理．

第二步，建立问题的描述模型．

对于数值性问题，可以建立数学模型，通过数学语言来描述问题；对于非数值性问题，我们可以建立过程模型，通过过程模型来描述问题．

第三步，设计确立算法．

对于数值性问题，我们可以采用数值分析的方法进行处理，数值分析中有许多现成的固定算法，我们可以直接使用，当然我们可以根据问题的实际情况设计算法；对于非数值性问题，根据过程模型分析算法与设计进行处理，也可以选择一些成熟的办法进行处理，如排序、递推等．

例题1 输入任意一个实数，用自然语言描述该数是不是5的倍数的算法．

【思维切入】根据题意，我们只要把该实数除以5，如果能被5整除，则就是5的倍数，否则就不是．

【解析】第一步，输入一个任意实数a；

第二步，用5除该实数，取其余数，如果等于0，则就是5的倍数；否则就不是5的倍数；

第三步 结束算法． （二）程序框图

设计较简单的程序框图，我们可以通过对问题的分析，建立相应的数学模型或过程模型 进而选择顺序结构、条件结构、循环结构中的一种或几种画出框图即可．如果设计的框图较为复杂就要采用“逐步求精”的思想设计框图，先将问题中的简单部分明确出来，再逐步对复杂部分进行细化，然后一步一步逐步向前推进的思想设计框图．

例题2已知函数f(x)?x3把区间[?2,2]10等分，画出求等分点函数值算法的框图．

【思维切入】把区间[?2,2]10等分，则等分点自变量x的值依次是-2，-1.6，-1.2，-0.8，-0.4，0，0.4，0.8，1.2，1.6，2，从这11个数可以看出，每两个数之间相差0.4，我们在计算等分点函数值时，可以引入变量i，从自变量为-2开始，每算一个等分点的值，i就加0.4，直到i?2为止．

【解析】描述此问题的程序框图为一循环结构的程序框图如图．

【命题方向一】自然语言描述算法

例题1 有蓝和黑两个墨水瓶，但却错把黑墨水装在了蓝墨水瓶子里，而蓝墨水错装在了黑墨水瓶子里，要求将其互换，试描述其算法．

【思维切入】这是一个非数值性运算问题，因为两个瓶子的墨水不能直接变换，所以，解决这一问题的关键是需要引入第三个空墨水瓶．

【解析】设第三个空墨水瓶为白色，其交换步骤如下：

第一步，将黑墨水瓶中的蓝墨水装入白瓶中； 第二步，将蓝瓶中的黑墨水装入黑瓶中； 第三步，将白瓶中的蓝墨水装入蓝瓶中；

第四步，交换结束．

【规律技巧总结】本题的四个操作步骤是顺序执行的，我们称

为顺序结构，同时在这个题目里我们要特别重视白瓶的作用，在执行第一步到第四步的过程中，它的名称没有变，但是白瓶中的物质却变了，白瓶在蓝黑墨水瓶之间起到了一个过渡的作用．

【命题方向二】程序框图描述算法

例题2 某公司出售软磁盘，购买500片和500片以上时，按4.5元计价，否则每片5元计价，请画一程序框图按输入盘片数计算不同收费金额．

【解析】程序框图如图．

例题3 设计算法，输出 1000以内能被3和5整除的所有正整数，画出算法流程图．

【思维切入】这个问题很简单，凡是能被3和5整除的正整数都是15的倍数，由于

1000?15?66?10，因此1000以内一共有66个这样的正整数．

【解析】引入变量a表示待输出的数，则

a?15n(n?1,2,3,,66)．

n从1变到66，

反复输出a，就能输出1000以内的所

有能被3和5整除的正整数．

程序框图如图． （三）算法语句

输入、输出语句和赋值语句是一个程序必不可少的语句，一定要注意它们各自的格式及要求，条件语句主

要有两种格式，IF-THEN-ENG IF格式和IF-THEN-ELSE-ENG IF格式．如果要求当表达式的结果为假时，执行另一序列的语句，可采用IF-THEN-ELSE-ENG IF格式；否则，可使用

IF-THEN-ENG IF格式．循环语句有WHILE循环和UNTIL循环，WHILE循环语句尤其适合于解决一些事先不确定循环次数的问题，WHILE循环语句中的表达式的结果为真时，执行循环体，为假时跳出循环．

【命

D C 题方向三】程序P 设计

例题

AB 3 如图，在边长为

4的正方形ABCD的边上有一点P沿着折线

BCDA由点B（起点）向点A（终点）运动．设点P运动的路程为x，APB的面积为y，求y与

x之间的函数关系式，画出程序框图，写出程序．

【解析】按照题意,根据x的变化,写出分段函

数的解析式．

函数的解析式为

?20?x?4f(x)??x?84?x?8．

??24?2x8?x?12程序框图如图： 程序如下：

INPUT “x?”；x IF x??0 AND x??4 THEN y?2?x ELSE IF x??8 THEN y?8 ELSE y?24?2?x END IF END IF PRINT y END

例题7 写出用循环语句描述求

16?16?16?16?16?16?16值的算法程序，并画出相应的程序框图．

【解析】利用循环结构实现算法必需搞清初值是谁，在本问题里初值可设定为x1?16，第一次循环得到x12??16?16?x，第二次循环得到16x3?16?x，?，x17?，共循环了6次． 26?x6依上面分析知程序框图如图所示： 程序如下：

【规律技巧总结】本题亦可用UNTIL语句写出,请读者自己画出程序框图写出相应程序．

例题3高一(2)班共有40名学生,每次考试数学老师总要统计成绩在85分～100分，60分～85分和60分以下的各分数段人数．请你帮助数学老师设计一个程序，解决上述问题．

【解析】我们可用循环

结构控制输入

a?0 的人数，用条件

b?0 结构对输入的成绩

c?0 进行判断．

i?1 程序框图如图

WHILE i??40 所示：

INPUT x

IF x??85 THEN

a?a?1

ELSE

IF x??60 THEN

b?b?1 程序如下：

ELSE

c?c?1

END IF

END IF

i?i?1

WEND PRINT a,b,c

END x?1/16 i?1

WHILE i??6

x?1/(6?x) （四）算法案例

用辗转相除法与更相减

i?i?1 损术求两个数的最大公约数

WEND 时，一定要弄清每一次除法

PRINT x 或减法中的被除数、除数和END 被减数、减数，同时要掌握

两种方法中除法和减法分别应在何种情况下停止运算，得出结果．

用秦九韶算法求多项式的值时，首先要对所给的n次多项式进行合理的改写，然后由内向外逐次计算，要确保中间计算结果的准确性．

要注意不同进制的数之间的转换方

6|345 法．k进制数化为十进制数的方法是把k6|57 进制数写成用各位上数字与k的幂的乘6|9 积之和的形式，再按十进制数的运算规则

6|1 计算出结果；十进制数化为k进制的方法

0 是用k连续去除十进制数所得的商，直到商为零为止，然后把各步得到的余数倒写就是相应的k进制数．

【命题方向四】案例应用

例题8 求375、85两数的最大公约数． 【解析】用辗转相除法： 375?85?4?35， 85?35?4?15 35?15?2?5 15?5?3?0．

所以，375、85两数的最大公约数是5． 例题9 当x?0.2时，求多项式

5x4?0.9x3?45x2?21x?8的值．

【解析】用秦九韶算法： 多项式可以化为

(5x3?0.9x2?45x?21)x?8 ?((5x2?0.9x?45)x?21)x?8

?(((5x?0.9)x?45)x?21)x?8

把x?0.2代入得

(((5?0.2?0.9)?0.2?45)?0.2?21)?0.2?8?14.0152．

例题10 把110010101(2)转化为六进制数． 【思维切入】我们可以先把二进制数转化为十

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