数学必修三学案(7)

【解析】377?319?1（余58）， 319?58?5（余29）， 58?29?2（余0），

∴377与319的最大公约数为29，再求29与116的最大公约数．

∵116?29?4（余0），

∴29与116的最大公约数为29．

∴319，377，116的最大公约数为29．

【规律技巧总结】利用辗转相除法求最大公约数，当余数为0时，除数就是所求的最大公约数．初学者不加以注意，往往会把这时候的商作为最大公约数．

★讲解点二 更相减损术

更相减损术是中国古代数学专著《九章算术》中的一个算法，课本对这段原文翻译有误，应如下解释：能用2约分的先用2约分，不能用2约分时，则将分子和分母上的数取出，用较大的数减去较小的数，再把得到的差与较小的数比较，并以大数减小数，反复相减，直到两数相等．

例题2分别用辗转相除法和更相减损术求下列两数的最大公约数：

⑴261，319；⑵1734，816．

【思维切入】使用辗转相除法可依据m?nq，

?r反复执行，直到r?0为止；用更相减损术就是根据m?n?r，反复执行，直到n?r为止．

【解析】⑴辗转相除法： 319?216?1（余58）， 261?58?4（余29）， 58?29?2（余0），

∴377与319的最大公约数为29． 更相减损术： 319?216?58， 216?58?203， 203?58?145， 145?58?87， 87?58?29， 58?29?29，

∴377与319的最大公约数为29． ⑵辗转相除法：

1734?816?1（余102）， 816?102?8（余0），

∴1734与816的最大公约数为102．

更相减损术：因为两数皆为偶数，首先除以2得到867，408，再求867与408的最大公约数．

867?408?459， 459?408?51，

408?51?357， 357?51?306， 306?51?255， 255?51?204， 204?51?153， 153?51?102， 102?51?51，

∴1734与816的最大公约数为102．

【规律技巧总结】通过上例可以发现用辗转相除法和更相减损术求得的最大公约数是相同的，但用辗转相除法的步骤较少，而用更相减损术运算简易却步骤较多，在解题时应灵活运用． 精彩反思 辗转相除法与更相减损术的统一性

实际上，辗转相除法与更相减损术是统一的，我们举例说明这一点．

如63?18?3（余9），而63?18?18?18 ?9．这说明，做一次除法与做若干次减法的效果相同，商就是做减法的次数，余数就是最后的差．由此可知，二者是完全统一的，做除法运算的次数比做减法的次数一般要少．因此，辗转相除法能更快地得到结果，但减法运算比除法运算更容易，因此不能说哪种方法比另一种好，辗转相除法也未必比更相减损术效率高．

【自我测评】

1.用“辗转相除法”求得459与357的最大公约数是（ ）

Ａ．3 Ｂ．9 Ｃ．17 Ｄ．51

2.两个整数490和910的最大公约数是（ ） Ａ．2 Ｂ．10 Ｃ．30 Ｄ．70

3.以下是利用更相减损术求78和36的最大公约数的操作步骤（78，36）?（42，36）?（6，30）?（6，24）?（6，18）?（6，12）?（6，6），那么78和36的最大公约数是 （ ） Ａ．1 Ｂ．12 Ｃ．6 Ｄ．36

4.用更相减损术求225和135的最大公约数为_____．

5.下列程序的目的是（ ）．

INPUT a,b WHILE a??b IF a??b THEN a?a?b ELSE b?b?a END IF WEND

PRINT a END

Ａ．求a/b的余数 Ｂ．求a,b的最小公倍数 Ｃ．求a被b除的商 Ｄ．求a,b的最大公约数

【拓展迁移】

思维提升 6.下面两个程序的作用是⑴______； ⑵______．

INPUT m,n i?1 a?a?i WHILE s MOD n??0 i?i?1 s?m?i WEND PRINT s END ① INPUT a,b,c

DO r?a MOD b §1.3 a?b b?r （第二

LOOP UNTIL r?0 【课标定向】

DO 学习目标 r?a MOD b 多项式的秦九a?b 韶算法． b?r 提示与建议

LOOP UNTIL r?0 理解秦九韶算PRINT a 法的算法思想，体END 会中国古代数学对② 世界数学发展的贡

（a?b?c?0） 献，增强民族自豪感．

【互动探究】

自主探究 1.秦九韶算法用于求______，算法中反复执行的一个递推公式为______．

视野拓展 数学王子——高斯

高斯（1777-1855）德国数学家、物理学家和天文学家．高斯在童年时代就表现出非凡的数学才华，年仅三岁，就学会了算术，八岁因发现等差数列求和公式而深得老师和同学的饮佩．大学二年级时得出正十七边形的尺规作图法，并给出了可用尺规作图的正多边形的条件，解决了两千年来悬而未决的难题．1799年以代数基本定理的四个漂亮的证明获得博士学位．高斯的数学成就遍及各个领域，在数学许多方面的贡献都有着划时代的意义，并在天文学、大地测量学和磁学的研究中都有杰出的贡献．1801年发表的《算术研究》是数学史上为数不多的经典著作之一，它开辟了数论研究的全新时代．非欧几里得几何是高斯的又一重大发现，他的遗稿表明，他是非欧几何的创立者之一．

算法案例 课时 辗秦九韶算法）

2.用秦九韶算法求函数f(x)?x4?2x3?3x2

?x?1在x?2处的值为（ ）．

Ａ．46 Ｂ．47 Ｃ．48 Ｄ．49 剖例探法

★讲解点一 秦九韶算法

秦九韶算法是中国古代数学家秦九韶发明的一个算法，其作用是求一元n次多项式的值．即使在现代，它仍是此类算法中最优秀的算法之一．

设f(x)?annx?an?1xn?1??a1x?a0，要

求f(x)当x?x0时的值，可有多种方法：

⑴直接计算：即按顺序一项一项地计算然后相

加，求得f(x0)，可知乘法的次数为

1?2?3??n?n(n?1)2，加法次数为n． ⑵逐项求和法：在直接计算法的基础上作了改进，先把多项式写成f(x)?an?xn?an?1n?1?x

??a1?x1?a0?x0的形式，这样多项式的每一项

都是a与xkk的乘积（k?0,1,2,,n）．在计算

ak?1kxk项时把xk的值保存在变量c中，求项ak?1x时只须计算ak?1?x?c，同时把x?c?xk?1的值存入

c中，继续下一项的运算，这样以后每一项的求值

只需做两次乘法，然后把这n?1项的值相加．

容易看出逐项求和法所用乘法的次数为2n?1，加法次数n．

⑶秦九韶算法：将f(x)改写成如下形式

f(x)?(((an?an?1)x?an?2)x??a1)x?a0，

其计算步骤为：先计算v1?anx?an?1，再计算v2?v1x?an?2，

每次都是把上一次的结果乘以x再与下一个系数相加，其计算量为乘法n次，加法n次．

当n≥4时，n?2n?1?n(n?1)2，且随着n的变大，三个数的差距越来越大．如n?100时，

2n?1?201，n(n?1)2?5050．由此我们可以看

到秦九韶算法比其它算法优越得多．

秦九韶算法的主要优点是：⑴大大减少了乘法的次数，使计算量减少．在计算机上做一次乘法所需要的时间是做加法、减法的几倍到十几倍，减少做乘法的次数也就加快了计算的速度．⑵规律性强，便于利用循环语句来实现算法．⑶避免了对自变量x单独做幂的计算，每次都是计算一个一次多项式的值，从而可提高计算的精度．

例题用秦九韶算法求多项式f(x)?3x5?8x4

?3x3?5x2?12x?6当x?2时的值．

【思维切入】秦九韶算法的关键在于把n次多项式转化为求一次多项式的值，注意体会递推的实现过程．

【解析】根据秦九韶算法，把多项式改写成如下形式：

f(x)?((((3x?8)x?3)x?5)x?12)x?6，

按照从内到外的顺序，依次计算一次多项式当时x?2的值．

v0?3，

v1?v0?2?8?3?2?8?14， v2?v1?2?3?14?2?3?25， v3?v2?2?5?25?2?5?55， v4?v3?2?12?55?2?12?122， v5?v4?2?6?122?2?6?238．

【规律技巧总结】直接代入求解，则计算机在执行时要进行15次乘法和5次加法运算，而利用秦九韶算法只需进行5次乘法、5次加法即可，要知道，让计算机进行一次乘法运算要比加法用的时间多很多，所以要减少运算中乘法的次数，这也就是秦九韶算法的优势所在了． 精彩反思 用秦九韶算法计算多项式的值，关键是正确地将多项式改写，然后由内向外依次计算求得．

【自我测评】

1.用秦九韶算法计算多项式

f(x)?3x6?4x5?5x4?6x3?7x2?8x?1当

x?0.4时的值，需要做乘法和加法次数分别为

（ ）

Ａ．6，6 Ｂ．5，6 Ｃ．5，5 Ｄ．6，5

2. f(x)?10x9?21x8?5x7?4x6?3x4?2x3

?3x2?x?1，则f(2)?（ ）

Ａ．11471 Ｂ．11472 Ｃ．11473 Ｄ．11474

【拓展迁移】

思维提升

3.用秦九韶算法计算多项式

f(x)?3x6?4x5?5x4?6x3?7x2?8x?1当

x??4时，v4的值是 （ ）

Ａ．-57 Ｂ．220 Ｃ．-845 Ｄ．3392

4.用秦九韶算法计算多项式

f(x)?a8x8?a7x7?a1x?a0当x?x0时的值，

要做____次乘法运算，____次加法运算． 5.用秦九韶算法计算多项式

视野拓展 信仰“数即万物”的毕达哥拉斯

毕达哥拉斯出生在爱琴海中的萨摩斯岛（今希腊东部小岛），自幼聪明好学，曾在名师门下学习几何学、自然科学和哲学．毕达哥拉斯学派很重视数学，企图用数学来解释一切．他们研究数学的目的并不在于实用，而是为了探索自然的奥秘．毕达哥拉斯本人以发现勾股定理著称，其实这个定理早为巴比伦人和中国人所知，不过最早的证明应归功毕达哥拉斯．

毕达哥拉斯还是音乐理论的鼻祖，他阐明了单弦的乐音与弦长的关系．在天文方面．首创地圆说．毕达哥拉斯的思想和学说，对希腊文化有巨大的影响．

f(x)?3x4?2x3?0.6x2?8x?7当x?5时的

值．

§1.3 算法案例 （第三课时 进位制）

【课标定向】

学习目标 进位制与数制转换． 提示与建议 重点掌握十进制与其他进位制的相互转化．

几

Ｄ．为了区分不同的进位制，必须在数的右下角标注基数

2.四进制数2231(4)转化为十进制数是（ ）． Ａ．172 Ｂ．173 Ｃ．692 Ｄ．693 3.四进制数首位能用的数字有________． 剖例探法

★讲解点一 进位制及进位制的转化 1.进位制的基本原理

十进制的原理是满十进一，一个十进制正整数N可以写成

【互动探究】

自主探究 1.下列关于进位制说法错误的是（ ）．

Ａ．进位制是人们为了计数和运算方便而约定的记数系统

Ｂ．二进制就是满二进一，十进制就是满十进一 Ｃ．满几进几，就是几进制，几进制的基数就是

an?10n?an?1?10n?1?形式，其中an,an?1,?a1?101?a0?100的?an?kn?an?1?kn?1??a1?k?a0．

,a1,a0都是0到9中的数字，

2⑵十进位制数转化为其他进位制的数

一般方法是除k取余法，即先把十进制数a除以k商为a1，余数为r1，再把a1除以k商为a2余数为r2，

，反复进行这种除法，直到商an小于0

且an?0．例如365?3?10?6?10?5．

一般地，k进制数的原理是满k进一，k进制数一般在右下角处标注（k）以示区别，例如270(8)表示270是一个8进制数，但十进制一般省略不写．

为止，此时将所有余数按反向排列就得到所要的k在k进制中，有：

⑴有k个不同的数字符号，即0,1,2,,k1?；

⑵“满k进一”，即每位数计满k后向高位进一．

一个k进位制的正整数就是各位数码与k的方幂的乘积的和，其中幂指数等于相应数码所在位数（从右往左数）减1．

例如2304515(k)?2?k?3?k4?0?k3

?4?k2?5?k?1．

计算机中常用的数除十进制外，还有二进制，八进制和十六制．

⑴二进制：

①只使用两个数字0和1； ②满二进一，即1+1=10． ⑵八进制：

①使用0,1,2,3,4,5,6,7八个数字； ②满八进一，如7+1=10．

八进制的数转化为十进制的数由下面的算式给出：3272(8)?3?8?2?8?7．

⑶十六进制：

①使用0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F十六个不同的数码，其中A,B,C,D,E,F分别代表

10,11,12,13,14,15；

②满十六进一，如F?1?10． 2.不同进位制之间的转换

⑴把k进位制的数转化为十进位制数 写成k的方幂之和即可，即anan?1a1a0

进制数rnrn?1r2r1(k)．

例题1把十进制数25转化为二进制数．

【思维切入】把一个十进制数转换为相应的二进制数，用2反复去除欲被转换的十进制数25，直到商为0为止，所得余数（从末位数读起）就是该十进制数25的二进制表示．

【解析】

2|25 （余1

2|12 （余0 2|6 （余0 2|3 （余1 2|1 （余1 0

25(10)?11001(2)．

例题2把二进制数10110101(2)转化为十进制数．

【思维切入】把二进制数转换为十进制数,就是将二进制数的最末位数乘以该位数的权20，倒数第二位乘以该位数的权21,,依此类推，最后把各位

相乘的结果相加即得该二进制数的十进制表示．

【解析】10110101(2)?1?27?0?26?1?25

?1?24?0?23?1?22?0?21?1?20

?181(10)，

即10110101(2)?181(10)．

例题3把154(6)二进制数转化为七进制数． 【思维切入】不同数制之间的转化（除十进

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