数学必修三学案(3)

（第一课时 循环结构）

【课标定向】

学习目标 1.循环结构；

2.当型循环结构、直到型循环结构． 提示与建议 重复机械式的计算循环运算问题，可用循环结构处理．

【互动探究】

自主探究 1.认真阅读下面问题及其框图的设计，体会循环结构的特点和构成．

北京获得了2008年第29届奥林匹克运动会主办权，你知道在申办奥运会的最后阶段，国际奥委会是如何通过投票决定主办权归属的吗？对遴选出的5个申办城市进行表决的操作程序是：首先进行第一轮投票，如果有一个城市得票超过总票数的一半，那么该城市将获得主办权；如果所有申办城市得票数都不超过总票数的一半，则将得票最少的城市淘汰，然后进行第二轮投票，重复第一轮投票的过程，如果第二轮投票仍没选出主办城市，那将进行第三轮投票，如此重复投票，直到选出一个申办城市为止．

请用自然语言和程序框图描述该过程． 【解析】用自然语言描述操作过程:

第一步,投票；

第二步，统计票数，如果有一个城市得票超过总票数的一半，那么该城市就获得主办权，转第三步宣布主办权；否则淘汰得票数最少的城市，转第一步．

第三步，宣布主办城市．

用程序框图描述操作过程如图1-1-9.

从此例可以看出，只要没有得票超过半数的城市，就得重复执行第一、二步，每次的过程相同，像这种根据指定条件决定是否重复执行一条或多条指令的控制结构称为循环结构．

开始 投票 淘汰票数最有一个城 少的城市 市得票超过总票数投票 N 的一半？ 淘汰票数最有一个城Y 少的城市

市得票超过总票数输出该城市 N 的一半？ 结束Y 图图1-1-10 1-1-9 特点：

①在一个循环结构中，总有一个过程要重复一系列的步骤若干次，而且每次的操作步骤完全相同．

②由此例可以看出，图1-1-10 中的部分被重复执行，在循环结构中我们称它为循环体．

③它的基本结构形式有如图1-1-11所示两种．

A块 A块 条件P？ 满足 P不满足 条件？ 不满足 满足 ⑴ ⑵ 图1-1-11

图⑴称为当型循环结构，当给定条件P成立（“真”）时，反复执行A框操作直到条件P为“假” 时，才停止循环．

图⑵称为直到型循环结构，先执行A框，再判断给定的条件P是否为“假”， P为“假”，则再执行A，如此反复，直到P为“真”为止．

④每个循环结构必然包括一个判断条件，由这个判断条件来决定这个循环是进行，还是终止． ２.构建循环结构的过程：______；______；______．

剖例探法

★讲解点一 循环结构

一些算法中（如累加、累乘问题），若出现从某处开始按照一定的条件反复执行某一处理步骤的情况，需采用循环结构处理，关键要确定循环条件与循环体．一般来说，画出框图前，需确定三件事情：①确定循环变量和初始条件；②确定算法中反复执行的部分，即循环体；③确定循环的终止条件．

例题１ 设计一个计算1?2?3??100的算法，画出其程序框图．

【思维切入】本题是一个累加问题，我们需要一个累加变量和一个计数变量，将累加变量的初始值设为0，计数变量的值从1到100．

【解析】用自然语言描述算法：

第一步，赋给累加变量S初始值0，赋给计数

变量i初始值1；

第二步，若i?100，则输出S；否则执行第二步；

第三步，计算S?S?i；

第三步，i?i?1，并转到第二步．

根据上面的描述，可有下面的程序框图，如图1-1-12所示：

开始 sum ?0

i?1 i?i?1

sum = sum ?i

i≤100? Y

N 输出sum 结束 图1-1-12

说明：①这里sum代表的是“和”，也可写成“S”，是累加变量，它的值随着i的变化而变化，sum = sum ?i并不是指sum和sum ?i相等，而是指sum的原值加i再赋值给sum，sum 的值变为“原值加i”，若sum 原值为“3”，则赋值后就变为“4”，此处“=”表示“赋值”的意思，并不代表相等．

②i代表计数变量，它的值不停地变化（由1变化到100），从而实现累加的目的，同样i?i?1并不代表i与i?1相等，而是指将i?1赋给i．

③在程序框图中? sum = sum ?i ?i?i?1 部分被重复执行，因此，我们称这部分为循环体，在这个框图中sum = sum ?i和i?i?1 是不能变换位臵的．

④为了易于理解，我们将循环过程描述如下： 第一次循环：i?1，sum=0，经判断i?1≤100，则将0+1赋给sum，sum变为1，i变为1+1=2；

第二次循环：i?2，sum=1，经判断i?2≤100，

则将1+2赋给sum，sum变为3，i变为2+1=3；

第三次循环：i?3，sum=3，经判断i?3≤100，则将3+3赋给sum，sum变为6，i变为3+1=4；

……

第100次循环：i?100，sum=4950，经 判 断i?100≤100，则将4950+10赋给sum，sum变为5050，i变为100+1=101；

第101次循环：i?101，sum=5050，经 判 断i?101?100，则不满足判断条件，结束循环，输出sum．

上面设计的程序框图是当型循环，用直到型循环框图表示如图1-1-13．

开始 sum ?0

i?1 sum = sum ?i i?i?1

i?100? N Y

输出sum 结束 图1-1-13

思维拓展 画出计算1?2?3??的程序框图．

【思维切入】这是一个累乘问题，重复进行了n?1次乘法，可以用循环结构描述，需引进累积变量mul和计数变量；这里．mul与i每次循环，他们的值都在改变，先用自然语言描述．

【解析】第一步，设mul的值为1； 开始 第二步，设i的值

为2；

mul?0 第三步，如果i≤ i?2 n，执行第四步，否则

转去执行第七步； 第四步，计算mul

i≤n? N 乘i并将结果赋给Y mul= mulmul；

?i 第五步，计算i加

i?i?1 1并将结果赋给i；

第六步，转去执行输出mul 第三步；

第七步，输出mul

结束 的值并结束算法．

图1-1-14 根据自然语言

描述，程序框图如图1-1-14．

★讲解点二 逆向问题

由已有的框图说出其运行结果，需自上而下地阅读框图，确定各部分的结构特征．

例题3 观察所给程序框图1-1-15，说出它所表示的函数．

开始 输入x N x≥0? Y y??Y x≥0? N 2x?3 y???0 2x?5 y结束 图1-1-15 【思维切入】由框图形式可以看出这是一复合条件结构，可根据判断条件确定算法流向，因此所表示的是一分段函数．

【解析】设框图表示的函数是

???2x?3x?0y???0x?0．

????2x?5x?0【规律技巧总结】对于这类问题的解答，首先由框图形式识别其结构类型，然后根据结构模式确定算法内容．

思维拓展 以下程序框图（如下图）的运行结果是________．

开始 a?5,s?1 i≤n? N s?sY? a 输出s a?a?1 结束

图1-1-16

【解析】由框图可知运行结果为20． 精彩反思 1.循环结构及其工作程序

a a

循环体 循环体

条件? Y 条件? N

N Y

b b

循环结构也叫重复结构,即重复执行某些操作.循环结构可分为当型循环(也称WHILE型循环)和直到型循环(也称UNTIL型循环).当型循环的执行过程是(参照上图):反复判断指定条件是否成立,只要条件成立,就执行循环体中的语句,直到条件不成立时停止循环；直到型循环是先执行一次循环体，然后判断定条件是否成立,条件不满足时反复执行循环体，直到条件成立时停止循环．

它们都只有一个入口（a）和一个出口（b）． 2.两种循环结构的区别 ⑴执行情况不同。当型循环是先判断条件当条件成立时才执行循环体 若循环条件一开始就不成立 则循环体一次也不执行 而直到型循环是先执行一次循环体 再判断循环条件循环体至少要执行一次

⑵循环条件不同．当型循环是当条件成立时循环，条件不成立时停止循环，而直到型结构是条件不成立时循环，到条件成立时结束循环．

从理论上讲，当型循环和直到型循环是可以相互转换的．因此设计算法时，到底是采用当型循环还是采用直到型循环，完全取决于个人喜好．但由于二者的以上差别，有时转换后会出现一些意想不到的后果．例如，教科书中判断质数的算法，其中一个变化就是将当型循环改成了直到型循环，用当型循环能正确判定整数2为质数，而直到型循环则不能．

3.循环结构中常见的几种错误 ⑴将出口标反：如图①②．

a 语句组 语句组 条件? N 条件? Y YN ① ② ⑵判断框在循环体中间：如图③④．

语句组 语句组 语句组 语句组 条件? N 条件? YN Y③ ④ 以上框图单从框图角度来看不能算是错误,但它不符合当型循环和直到型循环的结构特征, 也无法用后面的程序语句实现,因此不能使用这几种框.图结构．

⑶忘记改变循环条件循环结构是由循环条件控制循环的，在循环体内一定要有改变这个条件的步骤，否则将构成死循环%这是初学者最常犯的错误之一．

【自我测评】

1. 下图中哪些是条件语句的程序框图 （ ）

条件? N 条件? Y Y 语句1 语句2 N 语句2 ① ② 循环体 循环体 条件? 条件? N N YY ③ ④

Ａ．①②③④ Ｂ．①②③ Ｃ．②③ Ｄ．①②

2. 下列说法不正确的是 （ ） Ａ．任何一个算法一定含有顺序结构 Ｂ．任何一个算法都可能由顺序结构、条件结构、循环结构构成

Ｃ．循环结构中一定包含条件结构x?1 Ｄ．条件结构中一定包含循环结构m?1

3. 按如开始 图

所示程序 框图输入 输入n n?4，

则

输出的 A?1,B?1,K?2 C

值是（） Ａ．1

K?n? N Ｂ．2

Y Ｃ．3

C?A?B Ｄ．4

A?B,B?C

K?K?1

输出C

结束

4.阅读下图

开始 所示的程序

框图,运行

s?0 相应的程

i?1 序，输出的 i值等于 a?i?2i （ ） Ａ．2 s?s?aＢ．3 Ｃ．4 i?i?1Ｄ．5

N i?11?

Y

输出i 开始 结束 i?1

5. 阅读下边的程序框图, s?2 若输出s的值为?7,则判断框内可填写 （ ）． i?i?2 Ａ．i?3 Ｂ．i?4 s?s?i Ｃ． i?5 Ｄ．i?6 Y N

输出 s 结束 6. 某程序框图如图所示，该程序运行后输出的k的值是 （ ）．

开始

k?0

S?0

S?100? N S?SY? 2S k?k?1 输出k

结束

Ａ．4 Ｂ．5 Ｃ． 6 Ｄ．7

7. 阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果是 （ ）．

开始

S?2

n?1

S?1 1?S n?n?1 N s?2? n?n?1

输出n

结束 8. 用二分法求方程x2?3?0的近似根的算法中，一定要用到的逻辑结构有________． 9. 用Ni代表第i个学生的学号，Gi代表第i个学生的成绩那么下面的框图表示的算法的功能是________．

开始 i?1 输入Ni,Gi N Gi≥80? Y 打印 Ni,Gi i?i?1 N i?50 Y

结束

10. 把计算

开始 y?x2的程序

x??10框图补充完整,其中x??10,-9,, ? N 0,1,2, ,9,10． S?S?Y2 S 输出x,y

结束 11.执行下列的程序框图，若p?0.8，则输出的

n?______．

开始 输入p n?1,S?0 S?p? N Y S?S?1 2n n?n?1 输出n

结束 12．画出计算

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