学法指导:
学习算法、规律和统计注意的几个问题
1.加强算法的学习与实践
算法是数学及其应用的重要组成部分,是计算科学的重要基础,是连接解决的问题方法与计算机能够理解的程序语言之间桥梁,是现代人必须具备的数学修养.同时,我们数学中的计算离不开算法,我们必须加强算法的研究与学习.我们在学习算法时,可以与计算机等信息技术课程很好地联系在一起.通过计算机实现算法,解决数学问题还可以使我们看到算法的可行性、应用性,激发我们学习算法的积极性.由于中学数学中的算法内容是比较基本的算法初步,我们应当注意使用信息技术的适应性,适当使用信息技术,不能将数学中的算法学习变为计算机中的程序语言的学习或程序设计,不能为了应用本末倒臵. 2.掌握基本的概念和计算方法
统计是研究随机现象的数学方法.在“课标”中占有较大比重,是“课标”进行教材改革的重要组成部分.通过本章的学习,了解在抽样时为什么要把总体搅拌均匀,体会用样本估计总体分布及特征的思想,体会统计思维与确定性思维的差异.在学习中,我们应掌握基本的概念,如简单随机抽样、系统抽样、分层抽样的概念以及它们的联系和区别.同时,本章内容与初中的“统计初步”的联系非常的密切,在学习过程中,要注意沟通前后知识的联系,是统计这部分知识成为一个整体,统计是与数据打交道的,处理问题计算量大且比较复杂,对于这一点在线性回归中表现得更加突出.同学们在本章的学习中应重视用科学计算器处理统计数据的技能训练.
概率是研究随机现象规律的科学 .通过对本章的学习 ,了解随机现象和概率的意义 ,理解随机现象发生的不确定性和概率的稳定性,体会利用随机模拟方法解决实际问题的思想.在这一章的学习中,应注意掌握一些基本的概念,深刻理解概念的含义.如对古典概型的定义的学习,应抓住两点:一是基本事件的有限性,二是事件出现的等可能性.对于易混淆的知识,如概念、公式等,应着眼于弄清它们之间的区别和联系;公式的运用,要注意它们的前提条件,它是哪种概率类型,要准确、熟练地应用各个公式解题.另外,本章内容概念性强,抽象性强,思维方法独特,因此要立足基础知识、基本方法、基本问题的学习,要认真弄清课本每个例题和习题,适当拓展思路是本章学习应遵循的方法. 3.重视数学思想方法的学习
数学思想和方法是数学的灵魂.必修 3 中涉及的数学思想方法有:函数与方程、数形结合、分类讨论、转化、建模、概率统计、算法思想等.如:人人皆知的“田忌赛马”的故事,其中就蕴含着算法的思想.这些方法和思想在必修三中都得到了很好的应用.我们在学习中应重视这些基本数学思想方法的学习.
目录
第一章 算法初步
§1.1 算法与程序框图 §1.1.1 算法的概念
§1.1.2 程序框图 (第一课时顺序结构 条件结构 ) ' §1.1.2 程序框图 (第二课时 循环结构) §1.2.1 输入 输出语句和赋值语句 §1.2.2 条件语句 §1.2.3 循环语句
§1.3 算法案例 (第一课时辗转相除法与更相减损术) §1.3 算法案例( 第二课时 秦九韶算法 ) §1.3 算法案例( 第三课时进位制 )
章末复习方略
第二章 统计
§2.1 随机抽样 §2.1.1 简单随机抽样 §2.1.2 系统抽样 §2.1.3 分层抽样
§2.2.1 用样本的频率分布估计总体分布( 第一课时 频率分布表 ) §2.2.1 用样本的频率分布估计总体分布 (第二课时 频率分布直方图) §2.2.1 用样本的频率分布估计总体分布 (第三课时 茎叶图 ) §2.2.1 用样本的频率分布估计总体分布 (小!结 )
§2.2.2 用样本的数字特征估计总体数字特征 (第一课时 众数 中位数 平均数) §2.2.2 用样本的数字特征估计总体数字特征 (第二课时 方差与标准差) §2.2.2 用样本的数字特征估计总体数字特征 (小结) §2.3.1 变量间的相关关系 (相关关系的有关概念 ) §2.3.2 线性回归方程
章末复习方略
第三章 概 率
§3.1.1 随机事件的概率 §3.1.2 概率的意义
§3.1.3 概率的基本性质 (第一课时) §3.1.3 概率的基本性质( 第二课时) §3.2.1 古典概型( 第一课时 ) §3.2.1 古典概型 (第二课时 习题课) §3.2.2 (整数值) 随机数的产生 §3.3.1 几何概型
章末复习方略
第一章 算法初步 §1.1 算法与程序框图 §1.1.1 算法的概念
【课标定向】
学习目标 通过对解决具体问题过程与步骤的分析(如二元一次方程求解等问题),体会算法的思想,了解算法的含义,学会用自然语言设计算法. 提示与建议 借助已有的数学问题的解决方法和步骤设计算法,表达算法.
【互动探究】
自主探究 1.算法指的是用阿拉伯数字进行________的过程,在数学中,现代意义上的“算法”通常是指可以用计算机来解决的某一类问题的________,这些______________必须是明确和有效的,而且能够在________之内完
成的.
2.求方程近似根的算法是 .
3.对算法的理解不正确的是 ( ) A.一个算法应包含有限的操作步骤,而不能是无限的 B.算法中的每一个步骤都应当是确定的,而不应当是含糊的、模棱两可的
C.算法中的每一个步骤都应当能有效地执行,并得到确定的结果 D.一个问题只能设计出一种算法 剖例探法 ★讲解点一 数值性问题算法的描述 对于数值计算问题,例如解方程,求方程组
的解,不等式,不等式组,套用公式,判断性问题,累加累乘等这一类算法的描述,要借助一般数学计算方法,分解成清晰的步骤,使之条理化
就可以了(如解二元一次方程组的算法,可借助高斯消去法分布描述).
例题1 用自然语言描述求一元二次方程ax2?bx?c?0的根的算法.
【思维切入】对于求方程的根,解方程组这样的数值性的问题,我们都有具体的计算方法,只要我们平时的计算方法严格地按步骤把它描述
出来即可,因此我们很容易得到下面的算法.
【解析】用自然语言描述算法:
第一步,计算??b2?4ac;
第二步,如果??0,则原方程无实数解; 否则(?≥0)
x?b?b2?4ac?b?b2?4ac1?2a,x2?2a; 第三步,输出x1,x2或无实数解的信息. 【规律技巧总结】第二步中包含一个判断
??b2?4ac是否小于零的条件,并根据判断结
果进行不同的处理,在算法中称作条件结构. 例题2 用已知摄氏温度C与华氏温度F
的关系是 F?C?95?32,写出由摄氏温度求华
氏温度的算法. 【思维切入】这是一个函数求值问题给C赋值再代入解析式求F. 【解析】第一步,输入摄氏温度C;
第二步,代入F?C?95?32;
第三步,输出华氏温度F. 【规律技巧总结】数值性问题的算法一般要有数据的输入与输出.
思维拓展 写出一个求解任意二次函数y?ax2?bx?c(a?0)的最值的算法.
【解析】由二次函数的知识得,当a?0时,4ac?b2函数有最小值4a;当a?0时,函数有最
4ac?b2大值
4a. 算法步骤如下: 第一步,输入a,b,c;
4ac?b2第二步,计算m?4a;
第三步,若a?0,输出最小值m; 第四步,若a?0,输出最大值m.
【规律技巧总结】从本例可以发现,求解某类问题的算法不同于求解一个具体问题的方法,算法必须能够解决一类问题,并且能够重复使用;算法过程要能一步一步地执行,每一步操作必须确切,能在有限步后得出结果.
★讲解点二 非数值性问题算法的描述 非数值计算问题(如排序、查找最大值、变量的变换、文字处理等),需建立过称模型,这对同学们来讲较为陌生,下面举例,供大家了解.
例题3 一位商人有9枚银元,其中1枚略轻的是假银元,你能用天平(不用砝码)将假银元找出来吗?
【思维切入】最容易想到的解决这个问题的一种算法是:把9枚银元按顺序排成一列,先称前2枚,若不平衡,则可找出假银元;若平衡,则2枚银元都是真的,再依次与剩下的银元比较,就能找出假银元.
【解析】解法1 按照下列步骤,就能将假银元找出来:
第一步,任取2枚银元分别放在天平的两边,如果天平左右两边不平衡,则轻的一边为假银元;如果天平平衡则进行第二步;
第二步,取下右边的银元,放在一边,然后把剩余的7枚银元依次放在右边进行称量,直到天平不平衡,偏轻的那一枚就是假银元.
解法2第一步,把银元分成三组,每组3枚; 第二步,先将两组分别放在天平的两边,如果天平不平衡,那么假银元就在轻的那一组;如果天平平衡,则假银元就在未称的第三组里;
第三步,取出含假银元的一组,从中任取两枚银元放在天平的两边,如果天平不平衡,那么轻的那一就是假银元;如果天平平衡,则未称的那一枚就是假银元.
【规律技巧总结】经分析发现,后一种算法只需要两次,这种做法要明显好于前一种做法,当然,这两种方法都具有一般性,同样适用于n枚银元的情形,这是信息论中的一个模型,可以帮助我们找出某些特殊信息. 精彩反思 一个算法应该具有以下五个重要的特征:
1.有穷性 一个算法应该包括有限的操作
步骤,并能在有限步骤操作后结束.
2.确定性 算法的计算规则及相应的计算步骤、计算结果必须是确定的,不能有二义性.
3.可行性 算法的每一步都是可以在有限的时间内完成的基本操作,并能得到确定的结果.
4.数据输入 每个算法一般都要求有原始数据输入,即给定计算初值.
5.信息输出 一个算法一般要有信息输出,这应是问题解决的结果.
算法从初始步骤开始,每一个步骤只能有一个确定的后续步骤,从而组成一个步骤序列,序列的终止表示问题得到解答或指出问题没有解.
我们学过的许多数学公式的应用都是算法,加、减、乘、除运算法则以及多项式运算法则也是算法.
【自我测评】
1.下面个结论正确的是 ( )
A.一个程序的算法步骤是可逆的 B.一个算法可以无止境地运行下去 C.完成一件事情的算法有且只有一种 D.设计算法要本着简单方便的原则
2.下列关于算法的说法中,不正确的是 ( )
A.求解某一类问题的算法是唯一的 B.算法必须在有限步骤操作之后停止
C.算法的每一步操作必须是明确的,不能有歧义或模糊
D.算法执行后一定产生确定的结果 3.对于算法:S1,输入n;
S2,判断n是否等于2,若n?2,则满足条件;若n?2,则执行S3;
S3,依次从2到n?1检验能不能整除n,若不能整除n,则执行S4;若能整除n,则执行S1;
S4,输出n.
满足条件的n是 ( )
A.质数 B.奇数 C.偶数 D.约数 4.早上出门前需要洗脸刷牙(5min)、刷水壶(2min)、烧水(8min)、泡面(3min)、吃饭(10in)、听广播(8min)几个步骤,下列选项中最好的一种算法是 ( )
A.第一步,洗脸刷牙;第二步,刷水壶;第三步,烧水;第四步,泡面;第五步,吃饭;第六步,听广播
B.第一步,刷水壶;第二步,烧水同时洗脸刷牙;第三步,泡面;第四步,吃饭同时听广播
C.第一步,刷水壶;第二步,烧水同时洗脸刷牙;第三步,泡面;第四步,吃饭;第五步,听广播
D.第一步,吃饭同时听广播;第二步,泡面;第三步,烧水同时洗脸刷牙;第四步,刷水壶
5. 计算下列各式S值,能设计算法求解的是 思维提升 8. 已知两个单元分别放了变量x和y,交换两个变量的值,试描述其算法. ( )
①S?1?12?114?8?2100 ②S?1112?4?8??12100? ③S?1112?4?8??12n(n≥1且n?N) A.①② B.①③ C.②③ D.①②③ 6. 阅读下面的算法算法是:
第一步,输入两个实数a,b; 第二步,若a?b,则交换a,b的值; 第三步,输出a.
这个算法输出的是 ( )
A.a,b中的较大数 B.a,b中的较小数 C.原来的数a的值 D.原来的数b的值 7. 试描述判断圆(x?a)2?(y?b)2?r2和直线
Ax?By?C?0位置关系的算法.
【拓展迁移】
9. 给出求1?2?3?4?5的一个算法.
视野拓展 保罗·厄多斯(Paul Erdos)(1913-1996) 1949年厄多斯和亚陶·瑟尔伯格(Atle Selberg)合力完成质数定理的另一个证明.由于证明的方法更基本、更单纯,全世界的数学家都乐见其成.厄多斯说:“证明本身没有什么用处,但却是个很好的证明.”这不就够了吗?从这个问题的证明可以了解到数学家独特的敏感性,这或许是厄多斯最有名的成就.
这位曾经是上世纪最具天赋的数学家,他没有家,他说他不需要选择,他从未决定一年到头每一天都研究数学.“对我来说,研究数学就像呼吸一样自然.”然而,他并不轻言休息,简直可以公认是巡回世界的数学家.他喜欢说:“要休息的话,坟墓里有的是休息时间.”
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