广东省中考数学压轴试卷（第16、24、25题）(8)

存在符合条件的点Q和R，使以P，R，Q，A为顶点的四边形为平行四边形， 若Q在对称轴右边，把x=5代入直线AB解析式，解得y=3，即Q纵坐标为3， 把y=3代入抛物线解析式得：3=x2﹣5x+8 解得：x=5±当Q的纵坐标为﹣3，还有点（5±即 Q的坐标为：（5+

，3）（5﹣

，﹣3） ，3）或（5+

，﹣3）（5﹣

，﹣3）．

，

【点评】本题考查了二次函数的综合运用．将二次函数的图象与解析式相结合处理问题是解题的关键．

16．（2012?株洲校级自主招生）如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，D是⊙O上的一点，且AD∥CO．

（1）求证：△ADB∽△OBC；

（2）连结CD，试说明CD是⊙O的切线； （3）若AB=2，

，求AD的长．（结果保留根号）

【分析】（1）运用∠A=∠BOC，∠ADB=∠OBC证明即可．

（2）连接OD，SAS证明△ODC≌△OBC，得出∠CDO=∠CBO=90°，即可得出CD是⊙O的切线； （3）先求出OB，OC的长，再运用△ADB∽△OBC，求出AD的长． 【解答】证明：（1）∵AB是⊙O的直径， ∴∠ADB=90°，

第36页（共69页）

∵BC是⊙O的切线， ∴∠OBC=90°， ∵AD∥CO， ∴∠A=∠BOC， ∴△ADB∽△OBC； （2）如图，连接OD，

∵AB是⊙O的直径， ∴∠ADB=90°， ∵AD∥CO， ∴∠DFO=90°， ∵∠ODB=∠OBD， ∴∠DOF=∠BOF， ∵OD=OB，OC=OC， 在△ODC和△OBC中，

∴△ODC≌△OBC（SAS），∴∠CDO=∠CBO=90°， ∴CD是⊙O的切线； （3）∵AB=2， ∴OB=1， ∵，

∴OC==

．

∵AD∥CO， ∴∠DAB=∠COB，

第37页（共69页）

∵∠ADB=∠OBC=90°， ∴△ADB∽△OBC， ∴

=

，即

．

=

，

解得AD=

【点评】本题主要考查了切线的判定与性质及相似三角形的判定与性质，解题的关键是运用△ADB∽△OBC求出AD．

17．（2016?东莞市一模）如图，AB为⊙O的直径，P是BA延长线一点，PC切⊙O于点C，CG是⊙O的弦，CG⊥AB，垂足为D． （1）求证：△ACD∽△ABC； （2）求证：∠PCA=∠ABC；

（3）过点A作AE∥PC交⊙O于点F，连接BE，若sin∠P=，CF=5，求BE的长．

【分析】（1）欲证明△ACD∽△ABC，只要证明①∠ADC=∠ACB，②∠CAD=∠BAC即可．

（2）利用等角的余角相等证明，即证明∠PCA+∠OCA=90°以及∠ABC+∠OAC=90°由此可以解决问题． （3）先证明FA=FC=5，在RT△ADF中，根据sin∠FAD=求出DF、AD，在RT△COD中利用勾股定理求出半径，最后在RT△ABE中利用sin∠BAE=求出BE即可． 【解答】（1）证明：∵AB是直径， ∴∠ACB=90°， ∵CG⊥AB，

∴∠ADC=90°=∠ACB， ∵∠CAD=∠BAC， ∴△ACD∽△ABC． （2）证明：连接OC．

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∵PC切⊙O于C， ∴OC⊥PC， ∴∠PCO=90°

∴∠PCA+∠OCA=90°， ∵∠ACB=90°， ∴∠ABC+∠OAC=90°， ∵OC=OA， ∴∠OCA=∠OAC， ∴∠PCA=∠ABC． （3）解：∵AE∥PC， ∴∠PCA=∠CAF， ∵AB⊥CG， ∴

=

，

∴∠ACF=∠ABC， ∵∠PCA=∠ABC， ∴∠ACF=∠CAF， ∴FA=FC， ∵CF=5， ∴AF=5， ∵AE∥PC， ∴∠FAD=∠P， ∵sin∠P=， ∴sin∠FAD=， ∴FD=3，AD=4，CD=8，

在RT△COD中，设CO=r，则有r2=（r﹣4）2+82 ∴r=10， ∴AB=2r=20， ∵AB是直径， ∴∠AEB=90°，

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∴sin∠EAB=， ∴∴

， =，

∴EB=12．

【点评】本题考查圆的有关知识、相似三角形的判定和性质、三角函数、勾股定理等知识，注意连接OC是圆中常用辅助线，熟练掌握垂径定理、切线的性质是解题的关键，属于中考压轴题．

18．（2013?包头）如图，已知在△ABP中，C是BP边上一点，∠PAC=∠PBA，⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，且交BP于点E． （1）求证：PA是⊙O的切线；

（2）过点C作CF⊥AD，垂足为点F，延长CF交AB于点G，若AG?AB=12，求AC的长； （3）在满足（2）的条件下，若AF：FD=1：2，GF=1，求⊙O的半径及sin∠ACE的值．

【分析】（1）根据圆周角定理得出∠ACD=90°以及利用∠PAC=∠PBA得出∠CAD+∠PAC=90°进而得出答案；

（2）首先得出△CAG∽△BAC，进而得出AC2=AG?AB，求出AC即可； （3）先求出AF的长，根据勾股定理得：AG=ACB=∠ADB，求出即可． 【解答】（1）证明：连接CD，

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，即可得出sin∠ADB=，利用∠ACE=∠

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