广东省中考数学压轴试卷（第16、24、25题）(3)

请求出x的值；若不存在，请说明理由．

29．把两个含有45°角的直角三角板如图1放置，点D在BC上，连接BE、AD，AD的延长线交于BE于点F．

（1）问：AD与BE在数量上和位置上分别有何关系？说明理由．

（2）若将45°角换成30°如图2，AD与BE在数量和位置上分别有何关系？说明理由．

（3）若将图2中两个三角板旋转成图3、图4、图5的位置，则（2）中结论是否仍然成立，选择其中一种图形进行说明．

30．已知：RT△ABC与RT△DEF中，∠ACB=∠EDF=90°，∠DEF=45°，EF=8cm，AC=16cm，BC=12cm．现将RT△ABC和RT△DEF按图1的方式摆放，使点C与点E重合，点B、C（E）、F在同一条直线上，并按如下方式运动．

运动一：如图2，△ABC从图1的位置出发，以1cm/s的速度沿EF方向向右匀速运动，DE与AC相交于点Q，当点Q与点D重合时暂停运动；

运动二：在运动一的基础上，如图3，RT△ABC绕着点C顺时针旋转，CA与DF交于点Q，CB与DE

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交于点P，此时点Q在DF上匀速运动，速度为，当QC⊥DF时暂停旋转；

运动三：在运动二的基础上，如图4，RT△ABC以1cm/s的速度沿EF向终点F匀速运动，直到点C与点F重合时为止．

设运动时间为t（s），中间的暂停不计时， 解答下列问题

（1）在RT△ABC从运动一到最后运动三结束时，整个过程共耗时 s；

（2）在整个运动过程中，设RT△ABC与RT△DEF的重叠部分的面积为S（cm2），求S与t之间的函数关系式，并直接写出自变量t的取值范围；

（3）在整个运动过程中，是否存在某一时刻，点Q正好在线段AB的中垂线上，若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由．

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参考答案与试题解析

一．填空题（共6小题）

1．（2015?河北模拟）如图，在△ABC中，∠BAC=45°，AB=4cm，将△ABC绕点B按逆时针方向旋转45°后得到△A′BC′，则阴影部分的面积为 4cm2 ．

【分析】AC与BA′相交于D，如图，根据旋转的性质得∠ABA′=45°，BA′BA=4，△ABC≌△A′BC′，则S

△ABC

=S△A′BC′，再利用面积的和差可得S阴影部分=S△ABA′，接着证明△ADB为等腰直角三角形，得到∠ADB=90°，

AB=2

，然后利用三角形面积公式计算S△ABA，从而得到S阴影部分．

AD=

【解答】解：AC与BA′相交于D，如图，

∵△ABC绕点B按逆时针方向旋转45°后得到△A′BC′， ∴∠ABA′=45°，BA′=BA=4，△ABC≌△A′BC′， ∴S△ABC=S△A′BC′，

∵S四边形AA′C′B=S△ABC+S阴影部分=S△A′BC′+S△ABA′， ∴S阴影部分=S△ABA′， ∵∠BAC=45°，

∴△ADB为等腰直角三角形， ∴∠ADB=90°，AD=

AB=2

，

（cm2），

∴S△ABA′=AD?BA′=×2∴S阴影部分=4故答案为：4

cm2． cm2．

×4=4

【点评】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角

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等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了等腰直角三角形的性质．运用面积的和差解决不规则图形的面积是解决此题的关键．

2．（2016?深圳模拟）如图，矩形ABCD中，AD=4，∠CAB=30°，点P是线段AC上的动点，点Q是线段CD上的动点，则AQ+QP的最小值是 4 ．

【分析】以CD为轴，将△ACD往上翻转180°，由已知的边角关系可知△A′CA为等边三角形，求出A′C边上的高线，由“直线外一点到这条直线中，垂线段最短”即可得出结论． 【解答】解：以CD为轴，将△ACD往上翻转180°，如图，

过点A作AE⊥A′C于E点，AE交CD于F点，

当Q与F点重合，P′与E点重合时，AQ+QP=AF+EF=AE最短（直线外一点到这条直线中，垂线段最短）， ∵矩形ABCD中，AD=4，∠CAB=30°， ∴∠A′CD=∠ACD=∠CAB=30°， ∴∠A′CA=60°， 又∵AC=A′C，

∴△A′CA为等边三角形，且A′A=2AD=8， AE=A′A?sin∠A′CA=8×故答案为：4

．

=4

．

【点评】本题考查了轴对称图形的性质以及点到直线的距离，解题的关键是以CD为轴，将△ACD往上翻转180°，找出A′C边上的高线．

3．（2016?高邮市一模）如图，⊙O的半径为2，OA=4，AB切⊙O于B，弦BC∥OA，连结AC，图中

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阴影部分的面积为 ．

【分析】首先连接OB，OC，由⊙O的半径为2，OA=4，AB切⊙O于B，易求得∠AOB=60°，又由弦BC∥OA，可得△BOC是等边三角形，且S△ABC=S△OBC，则可得S阴影=S扇形BOC=【解答】解：连接OB，OC， ∵弦BC∥OA， ∴S△ABC=S△OBC， ∵AB切⊙O于B， ∴OB⊥AB，

∵⊙O的半径为2，OA=4， ∴sin∠OAB=

==，

=

．

∴∠OAB=30°，

∴∠AOB=90°﹣∠OAB=60°， ∵弦BC∥OA， ∴∠OBC=∠AOB=60°， ∵OB=OC，

∴△OBC是等边三角形， ∴∠BOC=60°， ∴S阴影=S扇形BOC=故答案为：

．

=

．

【点评】此题考查了切线的性质、等边三角形的判定与性质以及扇形的面积．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．

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