广东省中考数学压轴试卷（第16、24、25题）(5)

所以y1=﹣（x﹣1）2+4=﹣x2+2x+3，

（2）设直线AB的解析式为：y2=kx+b， 求得B点的坐标为（0，3），

把A（3，0），B（0，3）代入y2=kx+b中，

，

解得：

所以y2=﹣x+3，

（3）因为C点坐标为（1，4）， 所以当x=1时，y1=4，y2=2， 所以CD=4﹣2=2，

，

假设存在符合条件的点P，设点P的横坐标是x，△PAB的铅垂高为h， 则h=y1﹣y2=（﹣x2+2x+3）﹣（﹣x+3）=﹣x2+3x， 由S△PAB=S△CAB，

得：×3×（﹣x2+3x）=3 化简得：x2﹣3x+2=0， ∴x=1（舍去）或x=2， ∴点P（2，3）．

【点评】此题主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．

9．（2009?锦州）如图，抛物线与x轴交于A（x1，0），B（x2，0）两点，且x1＞x2，与y轴交于点C（0，4），其中x1，x2是方程x2﹣2x﹣8=0的两个根． （1）求这条抛物线的解析式；

（2）点P是线段AB上的动点，过点P作PE∥AC，交BC于点E，连接CP，当△CPE的面积最大时，求点P的坐标；

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（3）探究：若点Q是抛物线对称轴上的点，是否存在这样的点Q，使△QBC成为等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

【分析】（1）先通过解方程求出A，B两点的坐标，然后根据A，B，C三点的坐标，用待定系数法求出抛物线的解析式．

（2）本题要通过求△CPE的面积与P点横坐标的函数关系式而后根据函数的性质来求△CPE的面积的最大值以及对应的P的坐标．△CPE的面积无法直接表示出，可用△CPB和△BEP的面积差来求，设出P点的坐标，即可表示出BP的长，可通过相似三角形△BEP和△BAC求出．△BEP中BP边上的高，然后根据三角形面积计算方法即可得出△CEP的面积，然后根据上面分析的步骤即可求出所求的值． （3）本题要分三种情况进行讨论：

①QC=BC，那么Q点的纵坐标就是C点的纵坐标减去或加上BC的长．由此可得出Q点的坐标． ②QB=BC，此时Q，C关于x轴对称，据此可求出Q点的坐标．

③QB=QC，Q点在BC的垂直平分线上，可通过相似三角形来求出QC的长，进而求出Q点的坐标． 【解答】解：（1）∵x2﹣2x﹣8=0，∴（x﹣4）（x+2）=0． ∴x1=4，x2=﹣2．

∴A（4，0），B（﹣2，0）．

又∵抛物线经过点A、B、C，设抛物线解析式为y=ax2+bx+c（a≠0）， ∴

．

∴．

∴所求抛物线的解析式为y=﹣x2+x+4．

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（2）设P点坐标为（m，0），过点E作EG⊥x轴于点G． ∵点B坐标为（﹣2，0），点A坐标（4，0）， ∴AB=6，BP=m+2． ∵PE∥AC， ∴△BPE∽△BAC． ∴=．

∴

=

∴EG=．

∴S△CPE=S△CBP﹣S△EBP =BP?CO﹣BP?EG ∴S△CPE=（m+2）（4﹣）

=﹣m2+m+．

∴S△CPE=﹣（m﹣1）2+3． 又∵﹣2≤m≤4，

∴当m=1时，S△CPE有最大值3． 此时P点的坐标为（1，0）．

（3）存在Q点， ∵BC=2

，

设Q（1，n）， 当BQ=CQ时，

则32+n2=12+（n﹣4）2， 解得：n=1， 即Q1（1，1）； 当BC=BQ=2时，9+n2=20， 解得：n=±，

∴Q2（1，

），Q3（1，﹣

）；

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当BC=CQ=2解得：n=4±∴Q4（1，4+

时，1+（n﹣4）2=20， ，

），Q5（1，4﹣

）．

），Q3（1，﹣

），Q4（1，4+

），Q5（1，4﹣

）．

综上可得：坐标为Q1（1，1），Q2（1，

【点评】本题着重考查了待定系数法求二次函数解析式、图形面积的求法、三角形相似、探究等腰三角形的构成情况等知识点，综合性强，考查学生分类讨论，数形结合的数学思想方法．

10．（2015?清镇市校级模拟）如图，已知抛物线y=﹣交于点C，若已知B点的坐标为B（8，0）． （1）求抛物线的解析式及其对称轴方程．

（2）连接AC、BC，试判断△AOC与△COB是否相似？并说明理由．

（3）在抛物线上BC之间是否存在一点D，使得△DBC的面积最大？若存在请求出点D的坐标和△DBC的面积；若不存在，请说明理由．

+bx+4与x轴相交于A、B两点，与y轴相

【分析】（1）直接把点B（8，0）代入抛物线y=﹣进而可得出其对称轴方程；

+bx+4，求出b的值即可得出抛物线的解析式，

（2）求出A点坐标，再由锐角三角函数的定义得出tan∠ACO=tan∠CBO，故∠ACO=∠CBO，由此可

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得出结论；

（3）求出BC解析式，将S△BCD转化为DH?OB，设D（t，﹣t2+t+4），H（t，﹣t+4），面积可转化为S△BCD=﹣（t﹣4）2+2，△DBC的最大面积为2，此时D点坐标为（4，6）． 【解答】解：（1）∵B点的坐标为B（8，0）， ∴﹣16+8b+4=0，解得b=， ∴抛物线的解析式为y═﹣

+x+4，

对称轴方程为x=﹣=3；

（2）∵由（1）知，抛物线的对称轴方程为x=3，B（8，0） ∴A（﹣2，0），C（0，4）， ∴OA=2，OC=4，OB=8， ∴tan∠ACO=tan∠CBO=， ∴∠ACO=∠CBO． ∵∠AOC=∠COB=90°， ∴△AOC∽△COB．

（3）设BC解析式为y=kx+b，

把（8，0），（0，4）分别代入解析式得，

，解得

解得y=﹣x+4，

作DH⊥x轴，交BC于H．

设D（t，﹣t2+t+4），H（t，﹣t+4），

S△BCD=DH?OB=×（﹣t2+t+4+t﹣4）×8=﹣t2+t=﹣（t2﹣8t+42﹣16）=﹣（t﹣4）2+2， 当t=4时，△DBC的最大面积为2，此时D点坐标为（4，6）．

，

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