2016届高三数学（文）五月检测试题
第I卷(选择题 共50分) 一、选择题：本大题共10小题.每小题5分，共50分． 1、已知i为虚数单位，复数z1?1?i,z2?1?i，则
z1z?（ ）. 2A．?12 B．12 C．?i D．i
2、已知集合A?{x|y?lg(2?x)}，集合B?{x|?2?x?2}，则A?B?（ ）. A．{x|x??2} B． {x|?2?x?2} C．{x|?2?x?2} D．{x|x?2}
3、命题“若a2?b2?0，则a?0且b?0”的逆否命题是（ ）.
A．若a2?b2?0，则a?0且b?0 B．若a2?b2?0，则a?0或b?0
C．若a?0且b?0，则a2?b2?0 D．若a?0或b?0，则a2?b2?0
4、已知m、n是两条不同的直线，?、?、?是三个不同的平面，下列命题中，正确的是（ ）. A．若???，???，则?//? B．若m??，n??，则m//n
C．若m//?，n//?，则m//n D．若m//?，m//?，则?//?
5、为了解某社区居民的家庭年收入与年支出的关系，随机调查了该社区5户家庭，得到如下统计数据表： 收入 x (万元) 8.2 8.6 10.0 11.3 11.9
支出 y (万元) 6.2 7.5 8.0 8.5 9.8 根据上表可得回归直线方程y??bx?a ，其中b?0.76，a?y?bx，据此估计，该社区一户收入为15万元家庭的年支出为（ ）.
A．11.4 万元 B．11.8 万元 C．12.0 万元 D．12.2 万元
6、已知等差数列?aS3n?的前n项和为Sn，且满足3?S22?1，则数列?an?的公差d等于（ ）.
A．1 B．2 C．4 D．6 7、为得到函数y?cos(2x??6)的图象，只需要将函数y?sin2x的图象（ ）.
A．向右平移
?3个单位 B．向右平移?6个单位 C．向左平移??3个单位 D．向左平移6个单位
8、执行如图所示的程序框图，如果输出的函数值在区间??1，1???42?内，
则输入的实数x的取值范围是（ ）.
A.??3，?2? B.??2，?1? C.??1，0? D.?0，1? 、设点P为双曲线x2y29a2?b2?1（a?0，b?0）上一点，F1，F2分别是左右焦点，I是
△PF1F2的内心，若△IPF1，△IPF2，△IF1F2的面积S1，S2，S3满足2(S1?S2)?S3，
则双曲线的离心率为（ ）.
A．2 B．3 C．4 D．2 10、已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x?0时，f(x)?ex(x?1)，给出下列命
题：①当x?0时，f(x)?ex(1?x)； ②函数f(x)有2 个零点；
③f(x)?0的解集为(?1,0)?(1,??)； ④?x1,x2?R，都有f(x1)?f(x2)?2． 其中真命题的序号是（ ）.
A．①③ B．②③ C．②④ D．③④
二、填空题
??????11、 设x?R，向量a?(x,1)，b?(1,?2)，且a?b，则|a?b|?
12、已知函数f?x??ax?x?1的图象在点1,f?1?处的切线过点?2,7?，则 实数a?
318、如图，在四棱锥P?ABCD中，底面ABCD为边长为2的 正方形，PA?BD. （1）求证：PB?PD；
（2）若E，F分别为PC，AB的中点，EF?平面PCD， 求三棱锥D?ACE的体积．
19、设数列?an?的前n项和为Sn,且a1?1,Sn?nan?3n?n?1?,?n?N,n?2?． （1）求数列?an?的通项公式an； （2）是否存在正整数n，使得
??13、在区间??1,1?上随机取一个数x，则cos1?x的值介于0与之间的概率为 ．
2214、已知?ABC的三边长成公比为2的等比数列，则其最大角的余弦值为________ 15、如图，正方形ABCD和正方形DEFG的边长分别为a，b（a?b），原点O为AD的中点，抛物线y2?2px(p?0)经过C，F两点，则三、解答题
b? . a???16、已知向量m?(3sinx,cosx),n?(cosx,cosx),x?R，
???设f(x)?m?n．
（1）求函数f(x)的解析式及单调递增区间；
（2）在?ABC中，a,b,c分别为内角A,B,C的对边，且a?1,b?c?2,f(A)?1，求?ABC的面积．
17、从某企业生产的某种产品中抽取100件，测量这些产品的质量指标值，由测量结果得到如图所示的频率分布直方图，质量指标值落在区间?55,65?，?65,75?，?75,85?内的频率之比为
SS1S2S332???????n??n?1??2016？若存在，求出123n2n的值；若不存在，说明理由．
20、(13分)已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，左顶点为A，左焦点为
F1??2，0?，点B2,2在椭圆C上，直线y?kx?k?0?与椭圆C交于E，F两点，
直线AE，AF分别与y轴交于点M，N． （1）求椭圆C的方程；
（2）在x轴上是否存在点P，使得无论非零实数k怎样变化，总有?MPN为直角？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
??4:2:1．
（1）求这些产品质量指标值落在区间?75,85?内的频率；
（2）用分层抽样的方法在区间?45,75?内抽取一个容量为6的样本， 将该样本看成一个总体，从中任意抽取2件产品， 求这2件产品都在区间?45,65?内的概率．
21、（14分） 已知函数f?x??e?xm2x?mx?1. 2（1）当m?1时，求证：若x?0，则f?x??0； （2）当m?1时，试讨论函数y?f?x?的零点个数.
2016届高三数学（文）五月检测试题 答案
一、选择题
1.D 2.B
3.D命题“若a2?b2?0，则a?0且b?0”的逆否命题为“若a?0或b?0，则a2?b2?0”. 4.B若???，???，则?//?或?与?相交，所以选项A错；根据直线与平面垂直的性质定理知选项B正确；若m//?，n//?，则m,n平行或相交或异面，所以选项C错；若m//?，
m//?，则?//?或?,?相交，所以选项D错．
5.B
6.B等差数列?an?的前n项和为Sn?na1?12n(n?1)d，所以有Snn?a11?2(n?1)d，代入S3SS3?S22?1中，即33?22?a11111?2(3?1)d?[a1?2(2?1)d]?2d，所以2d?1，解得d?2.
7.D因为y?cos(x2???6?)?c6o?s(x?2)x?s3?in(?2x)6?，s所in以[2为(得到)]y?cos(2x??6)的图象，只需将函数y?sin2x的图象向左平移
?6个单位． 8.B分析程序中各变量和各语句的作用，再根据流程图所示的顺序可知，该程序的作用是计算分
段函数f(x)????2x,x???2,2????,?2???2,??? 的函数值，又因为输出的函数值在区间?11???2,x???4，2??内，
?x???2,?1?.
9、A如图，分别设圆I与?PF1F2的三边相切于点E,F,G,连接IE,IF,IG，则
IE?IF?IG?，r且IE?F1F2,IF?PF1,IG?PF2，它们分别是?IF1F2,?IPF1，?IPF2的高，由2(S1?S2)?S3，
可得2(r2PFrr1?2PF2)?2F1F2, 整理可得PF?PF112?2F1F2，
根据双曲线的定义可知PF1?PF2?2a,F1F2?2c, 所以c?2a,e?ca?2. 10.D由题意可知x?0时，?x?0，f(x)??f(?x)??e?x(?x?1)?e?x(x?1)，可见命题①是错误的；x?0时，f(x)?ex(x?1)，此时f(x)有1个零点x??1，当x?0，f(x)?e?x(x?1)，
此时f(x)有1个零点x?1，又f(x)为R上的奇函数，必有f(0)?0，即总共有3个零点，即命题②不成立；当x?0时，f(x)?e?x(x?1)?0，可求得解集为
(1,??)，当x?0时，f(x)?ex(x?1)?0，可求得解集为（?1,0），所以命题③成立；当
x?0时，f?(x)?ex(x?2)，令f?(x)?0，通过函数的单调性可求得此时f(x)的值域为
[?1e2,0)，则当x?0时f(x)的值域为(0，1e2]，所以有f(x1)?f(x22)?e2?1. 二、填空题
11、 10 ∵?a??b，∴x?2?0，解得x?2，∴?a??b?(3,?1)，则|?a??b|?10．12. 1 f'(x)?3ax2?1，f'(1)?3a?1，又f(1)?a?2，所以函数图象过点(1,f(1))的切线方程为
y?(a?2)?(a3?x1，?又切线过点(2,，则
7?a(??2)a?(3?，解得1a?1． 13.
1由
已
知
，
??x3?2??x2??2，若
0?c2o?12s，则
???x?2?2???3或2??x2??223,?1?x??3或3?x?1，故由几何概型概率的计算公
式得cos?x1（21-23）2的值介于0与?（-1）?12之间的概率为13. 14.?24
根据题意，设三角形的三边长分别设为为a,2a,2a，?2a?2a?a,?2a所对的角为最大
2角，设为?，则根据余弦定理得cos??a??2a?2??2a?2??2222a24，故答案为?4. 15、1?2 由题意得，
C(a，将2,?a),F(a2?b,b)C,F两点的坐标代入抛物线的方程y2?2px(p?0)中，得?，因为a?0,b?0,p?0，所以整理得
??(?a)2?2p?a?2???b2?2p(a2?b)a2?2ab?b2?0，解得a?(?1?2)b，所以a?(2?1)b，所以b1. a?2?1?2?116、解：
（1）f(x)??m???n?3sinxcosx?cos2x?3112sin2x?2cos2x?2
?sin(2x??6)?12，
由??2?2k??2x???6??2?2k?,k?Z 可得，?3?k??x??6?k?，
所以函数f(x)的单调递增区间为?????3?k?,??6?k???，k?Z.
（2）?f(A)?1,?sin(2A??16)?2， ?0?A??,??6?2A??6?13?6， ?2A???6?56,?A??3. 由a2?b2?c2?2bccosA,
得1?b2?c2?2bccos?3?4?3bc,?bc?1，
?S13?ABC?2bcsinA?4. 17、解：（1）设这些产品质量指标值落在区间?75,85?内的频率为x， 则这些产品质量指标值落在区间?55,65?，?65,75?内的频率分别为4x和2x． 依题意得?0.004?0.012?0.019?0.030??10?4x?2x?x?1， 解得x?0.05．
所以这些产品质量指标值落在区间?75,85?内的频率为0.05．
（2）由（1）得，这些产品质量指标值落在区间?45,55?，?55,65?，?65,75?内的频率依次为0.3，0.2，0.1．
用分层抽样的方法在区间?45,75?内抽取一个容量为6的样本，
则在区间?45,55?内应抽取6?0.30.3?0.2?0.1?3件，记为A1，A2，A3．
在区间?55,65?内应抽取6?0.20.3?0.2?0.1?2件，记为B1，B2． 在区间?65,75?内应抽取6?0.10.3?0.2?0.1?1件，记为C． 设“从样本中任意抽取2件产品，这2件产品都在区间?45,65?内”为事件M，
则所有的基本事件有：?A1,A2?，?A1,A3?，?A1,B1?，?A1,B2?，?A1,C?，?A2,A3?，
?A2,B1?，?A2,B2?，?A2,C?，?A3,B1?，?A3,B2?，?A3,C?，?B1,B2?，?B1,C?，?B2,C?，
共15种．
事件M包含的基本事件有：?A1,A2?，?A1,A3?，?A1,B1?，?A1,B2?，?A2,A3?，
?A2,B1?，?A2,B2?，?A3,B1?，?A3,B2?，?B1,B2?，共10种．
所以这2件产品都在区间?45,65?内的概率为
1015?23． 18、.解：（1）连接AC，交BD于点O，∵底面ABCD是正方形，
∴AC?BD且O为BD的中点，又∵PA?BD，PA?AC?A，∴BD?平面PAC，由于
PO?平面PAC，故BD?PO，又∵BO?DO，故PB?PD.
（2）设PD的中点为Q，连接AQ，EQ，则EQ//12CD， ∴四边形AFEQ为平行四边形，EF//AQ， ∵EF?平面PCD，
∴AQ?平面PCD，∴AQ?PD，PD的中点为Q， ∴AP?AD?2，由AQ?平面PCD可得AQ?CD， 又∵AD?CD，AQ?AD?A，∴CD?平面PAD， ∴CD?PA，又∵BD?PA，∴PA?平面ABCD，
V111112D?ACE?VE?ACD?3?2PA?S?ACD?3?2?2?2?2?2?6，
故三棱锥D?ACE的体积为26．
19、解：（1）Sn?nan?3n(n?1)，(n?N,n?2)， 所以n?3时，Sn?1?(n?1)an?1?3(n?1)(n?2)，
两式相减，得an?Sn?Sn?1?nan?(n?1)an?1?3(n?1)[n?(n?2)]， 即(n?1)an?(n?1)an?1?6(n?1)，即an?an?1?6（n?3）， 又由Sn?nan?3n(n?1)，(n?N,n?2)，得a2?a1?6， 所以{an}是公差为6的等差数列，且a1?1， 所以an?6n?5.
（2）Sn?nan?3n(n?1)=n(6n?5)?3n(n?1)?3n2?2n(n?N*)，
所以
Snn?3n?2， S11?S22?S33?...?Snn?3(1?2?3?...?n)?2n?3n(n?1)312?2n?2n2?2n， 所以S11?S22?S33?...?Snn?32321325n2(n?1)?2n?2n?2(n?1)?2?32?2016，所以5n?4035，所以n?807， 即当n?807时，
S11?S22?S33?...?Snn?32(n?1)2?2016. x220、解：（1）设椭圆C的方程为y2a2?b2?1(a?b?0)，
因为椭圆的左焦点为F1??2，0?，所以a2?b2?4， 设椭圆的右焦点为F2?2，0?，已知点B?2,2?在椭圆C上， 由椭圆的定义知BF1?BF2?2a，
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