2016届高三数学（文）五月检测试题含答案(2)

所以2a?32?2?42， 所以a?22，从而b?2，

所以椭圆C的方程为x2y28?4?1． （2）因为椭圆C的左顶点为A，则点A的坐标为??22,0?，

因为直线y?kx(k?0)与椭圆x2y28?4?1交于两点E，F， 设点E?x0,y0?（不妨设x0?0），则点F??x0,?y0?， ?y?kx联立方程组?,??x2y2，消去y得x28?8?4?1?1?2k2， 所以x20?2，22k，

1?2k2y0?1?2k2所以直线AE的方程为y?k1?1?2k2?x?22?，

因为直线AE与y轴交于点M，

令x?0得y?22kk1?1?2k2，即点M(0,221?1?2k2)，

同理可得点N(0,22k．

1?1?2k2)假设在x轴上存在点P(t,0)，使得?MPN为直角，则???MP?????NP??0，

即t2??22k22k，即1?1?2k2??1?1?2k2?0t2?4?0．

解得t?2或t??2．

故存在点P?2,0?或P??2,0?，无论非零实数k怎样变化，总有?MPN为直角．

21、.解：（1）当m?1时，f?x??ex?x22?x?1，则f??x??ex?x?1， 则f???x??ex?1 ①， 令f???x??0，得x?0，

当x?0时，ex?1，∴ex?1?0，即f???x??0，

∴函数y?f??x?在?0,???上为增函数，即当x?0时，f??x??f??0??0， ∴函数y?f?x?在?0,???上为增函数，即当x?0时，f?x??f?0??0.

（2）由（1）和①式知，当x?0时，ex?1?0，∴f???x??0，

∴函数f??x??ex?x?1的单调递减区间为???,0?，单调递增区间为?0,???，

∴f??x??0??0，∴?x?R，f??x??0，即exmin?f??x?1②，

（I）当x??1时，x?1?0，又m?1，∴m?x?1??x?1，

∴由②式得ex?m?x?1??ex??x?1??0，即f??x??0 ，

∴函数y?f?x?在??1,???上为增函数，又f?0??0，

∴当x?0时，f?x??f?0??0，当?1?x?0时，f?x??f?0??0，

∴函数y?f?x?在??1,???上有且仅有一个零点x?0.

（II）当x??1时，

xⅰ）当0?m?1时，?m?x?1??0，e?0，∴f??x??ex?m?x?1??0，

mm?1?0， 函数y?f?x?在???,?1?时单调递减，∴f?x??f??1??e??1?22?1故0?m?1时，函数y?f?x?在???,?1?上无零点；

ⅱ）当m?0时，由f??x??ex?mx?m，得f???x??ex?m?0， 函数y?f??x?在???,?1?上单调递增，f???1??e?1?0，

e?1?1时，f??x??e?1?m?x?1??0， 当x?me?1?1,?1)，使f??x???0， ∴由函数零点存在性定理知?x?(m????1故当x?x,?1时，0?f?x?f??x??f???1??e， ??当x???,x时，f??x??f?x?0，

????????∴函数y?f?x?的单调递减区间为???,x??，单调递增区间为?x?,?1?，

?1又f??1??e?m??1?0，∴对?x??x,?1?，f?x??0， ?2又当x??1?2m?1?x??1?时，?x2?mx?1?0，∴f?x??0，

2m由f??2?x?0??,x??， ?1?,?1?，∴???????m???再由函数零点存在性定理知?x0???,x，使得f???x0??0，

综上所述，当0?m?1时，函数y?f当m?0时，函数y?f?x?有且仅有一个零点，

?x?有两个零点．

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