广东省中考数学压轴试卷（第16、24、25题）(7)

∴P（2，﹣）；

（3）存在． 如图2所示，

①当点N在x轴下方时，

∵抛物线的对称轴为直线x=2，C（0，﹣）， ∴N1（4，﹣）； ②当点N在x轴上方时，

如图，过点N2作N2D⊥x轴于点D， 在△AN2D与△M2CO中，

∴△AN2D≌△M2CO（ASA），

∴N2D=OC=，即N2点的纵坐标为． ∴x2﹣2x﹣=， 解得x=2+∴N2（2+

或x=2﹣

，

，）．

，）或（2﹣

，）．

，），N3（2﹣

综上所述，符合条件的点N的坐标为（4，﹣），（2+

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【点评】本题考查的是二次函数综合题，涉及到用待定系数法求一次函数与二次函数的解析式、平行四边的判定与性质、全等三角形等知识，在解答（3）时要注意进行分类讨论．

14．（2013?兰州）如图，在平面直角坐标系xOy中，A、B为x轴上两点，C、D为y轴上的两点，经过点A、C、B的抛物线的一部分C1与经过点A、D、B的抛物线的一部分C2组合成一条封闭曲线，我们把这条封闭曲线成为“蛋线”．已知点C的坐标为（0，﹣），点M是抛物线C2：y=mx2﹣2mx﹣3m（m＜0）的顶点．

（1）求A、B两点的坐标；

（2）“蛋线”在第四象限上是否存在一点P，使得△PBC的面积最大？若存在，求出△PBC面积的最大值；若不存在，请说明理由；

（3）当△BDM为直角三角形时，求m的值．

【分析】（1）将y=mx2﹣2mx﹣3m化为交点式，即可得到A、B两点的坐标；

（2）先用待定系数法得到抛物线C1的解析式，过点P作PQ∥y轴，交BC于Q，用待定系数法得到直线BC的解析式，再根据三角形的面积公式和配方法得到△PBC面积的最大值；

（3）先表示出DM2，BD2，MB2，再分两种情况：①DM2+BD2=MB2时；②DM2+MB2=BD2时，讨论即可求得m的值．

【解答】解：（1）y=mx2﹣2mx﹣3m=m（x﹣3）（x+1）， ∵m≠0，

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∴当y=0时，x1=﹣1，x2=3， ∴A（﹣1，0），B（3，0）；

（2）设C1：y=ax2+bx+c，将A、B、C三点的坐标代入得：

，

解得，

故C1：y=x2﹣x﹣．

如图：过点P作PQ∥y轴，交BC于Q，

由B、C的坐标可得直线BC的解析式为：y=x﹣， 设P（x，x2﹣x﹣），则Q（x，x﹣）， PQ=x﹣﹣（x2﹣x﹣）=﹣x2+x，

S△PBC=S△PCQ+S△PBQ=PQ?OB=×（﹣x2+x）×3=﹣（x﹣）2+当x=时，S△PBC有最大值，Smax=×（）2﹣﹣=﹣P（，﹣

，

，

，

）；

（3）y=mx2﹣2mx﹣3m=m（x﹣1）2﹣4m， 顶点M坐标（1，﹣4m）， 当x=0时，y=﹣3m，

∴D（0，﹣3m），B（3，0），

∴DM2=（0﹣1）2+（﹣3m+4m）2=m2+1， MB2=（3﹣1）2+（0+4m）2=16m2+4， BD2=（3﹣0）2+（0+3m）2=9m2+9，

当△BDM为Rt△时有：DM2+BD2=MB2或DM2+MB2=BD2．

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①DM2+BD2=MB2时有：m2+1+9m2+9=16m2+4， 解得m=﹣1（∵m＜0，∴m=1舍去）； ②DM2+MB2=BD2时有：m2+1+16m2+4=9m2+9， 解得m=﹣

（m=

舍去）．

时，△BDM为直角三角形．

综上，m=﹣1或﹣

【点评】考查了二次函数综合题，涉及的知识点有：抛物线的交点式，待定系数法求抛物线的解析式，待定系数法求直线的解析式，三角形的面积公式，配方法的应用，勾股定理，分类思想的运用，综合性较强，有一定的难度．

15．（2010?宝安区一模）如图1，抛物线y=ax2﹣10ax+8与x轴交于A、C两点，与y 轴交于点B，且C点的坐标为（2，0）

（1）求抛物线的函数表达式和A、B两点的坐标；

（2）如图，设点D是线段OA上的一个动点，过点D作DE⊥x轴交AB于点E，过点E作EF⊥y轴，垂足为F．记OD=x，矩形ODEF的面积为S，求S与x之间的函数关系式，并求出S的最大值及此时点D的坐标；

（3）设抛物线的对称轴与AB交于点P（如图2），点Q是抛物线上的一个动点，点R是x轴上的一个动点．请求出当以P、Q、R、A为顶点的四边形是平行四边形时，点Q的坐标．

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【分析】（1）根据题意易得对称轴的方程，又有AB∥x轴，结合对称轴的性质，可得AB=10，故在Rt△AOC中，由勾股定理易得答案；

（2）根据题意将△PAC的周长用PC+PA表示出来，由抛物线的对称性分析可得P即为BC直线x=5的交点；由此设BC的解析式为：y=kx+b，将A（8，0），B（0，8）代入可得k，b的值，进而可得其解析式；

（3）假设存在，在Rt△MOC与Rt△PBE中，根据勾股定理，结合MP∥BC分析可得答案． 【解答】解：（1）∵y=ax2﹣10ax+8， ∴抛物线的对称轴为：x=﹣令x=0，得到y=8， ∴点B的坐标为（0，8）， ∵点C坐标为：（2，0），

∵点A与点C关于对称轴x=5对称， ∴点A坐标为：（8，0），

将C（2，0）代入y=ax2﹣10ax+8得：4a﹣20a+8=0， ∴a=，

则抛物线的函数表达式为y=x2﹣5x+8；

=﹣=5，

（2）∵A（8，0），B（0，8）， ∴设直线AB的解析式为y=kx+b， 把A和B坐标代入得：解得：

，

'

∴直线AB解析式为y=﹣x+8， 由OD=x，即E横坐标为x，

代入直线AB解析式得：y=﹣x+8，即ED=﹣x+8， 则矩形的面积S=x（﹣x+8）=﹣x2+8x，0＜x＜8， 当x=﹣

=4，即D（4，0）时，S有最大值，最大值为16；

（3）根据题意画出图形，如图所示：

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