2013年中考数学分类汇编之二次函数(6)

A．1 B．2 C．3 D．4 考点：二次函数图象与系数的关系．

分析：根据对称轴为x=1可判断出2a+b=0正确，当x=﹣2时，4a﹣2b+c＜0，根据开口方向，以及与y轴交点可得ac＜0，再求出A点坐标，可得当y＜0时，x＜﹣1或x＞3． 解答：解：∵对称轴为x=1， ∴x=﹣

=1，

∴﹣b=2a，

∴①2a+b=0，故此选项正确； ∵点B坐标为（﹣1，0），

∴当x=﹣2时，4a﹣2b+c＜0，故此选项正确； ∵图象开口向下，∴a＜0， ∵图象与y轴交于正半轴上， ∴c＞0，

∴ac＜0，故ac＞0错误；

∵对称轴为x=1，点B坐标为（﹣1，0）， ∴A点坐标为：（3，0），

∴当y＜0时，x＜﹣1或x＞3．， 故④错误； 故选：B．

2

点评：此题主要考查了二次函数与图象的关系，关键掌握二次函数y=ax+bx+c（a≠0） ①二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小．

当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；IaI还可以决定开口大小，IaI越大开口就越小．

②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置． 当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右．（简称：左同右异）

③．常数项c决定抛物线与y轴交点． 抛物线与y轴交于（0，c）． ④抛物线与x轴交点个数．

222

△=b﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b﹣4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．

12．（2013包头）已知二次函数y=ax+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论：①b＜0；②4a+2b+c＜0；

22

③a﹣b+c＞0；④（a+c）＜b．其中正确的结论是（ ）

2

A．①② B．①③ C．①③④ D．①②③④ 考点：二次函数图象与系数的关系．

分析：由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，利用图象将x=1，﹣1，2代入函数解析式判断y的值，进而对所得结论进行判断．

解答：解：①图象开口向上，对称轴在y轴右侧，能得到：a＞0，﹣＞0，则b＜0，正确；

②∵对称轴为直线x=1，∴x=2与x=0时的函数值相等，∴当x=2时，y=4a+2b+c＞0，错误； ③当x=﹣1时，y=a﹣b+c＞0，正确； ④∵a﹣b+c＞0，∴a+c＞b；∵当x=1时，y=a+b+c＜0，∴a+c＜﹣b；∴b＜a+c＜﹣b，∴|a+c|＜|b|，∴（a+c）22

＜b，正确．

所以正确的结论是①③④． 故选C．

点评：本题主要考查二次函数图象与系数之间的关系，会利用对称轴的范围求2a与b的关系，以及二次函数与方程之间的转换，将x=1，﹣1，2代入函数解析式判断y的值是解题关键，得出b＜a+c＜﹣b是本题的难点．

8．（2013呼和浩特）在同一直角坐标系中，函数y=mx+m和y=﹣mx+2x+2（m是常数，且m≠0）的图象可能是（ ）

2

A． B． C． D．

考点：二次函数的图象；一次函数的图象．

分析：本题主要考查一次函数和二次函数的图象所经过的象限的问题，关键是m的正负的确定，对于二次函数y=ax+bx+c，当a＞0时，开口向上；当a＜0时，开口向下．对称轴为x=为（0，c）．

解答：解：当二次函数开口向上时，﹣m＞0，m＜0， 对称轴x=

＜0，

2

，与y轴的交点坐标

这时二次函数图象的对称轴在y轴左侧， 一次函数图象过二、三、四象限．故选D．

点评：主要考查了一次函数和二次函数的图象性质以及分析能力和读图能力，要掌握它们的性质才能灵活解题．

8．（2013鞍山）如图所示的抛物线是二次函数y=ax+bx+c（a≠0）的图象，则下列结论：①abc＞0；②b+2a=0；③抛物线与x轴的另一个交点为（4，0）；④a+c＞b；⑤3a+c＜0． 其中正确的结论有（ ）

2

A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 考点：二次函数图象与系数的关系．

分析：由开口方向、与y轴交于负半轴以及对称轴的位置，即可确定a，b，c的正负；由对称轴x=﹣=1，

可得b+2a=0；由抛物线与x轴的一个交点为（﹣2，0），对称轴为：x=1，可得抛物线与x轴的另一个交点为（4，0）；当x=﹣1时，y=a﹣b+c＜0；a﹣b+c＜0，b+2a=0，即可得3a+c＜0． 解答：解：∵开口向上， ∴a＞0，

∵与y轴交于负半轴， ∴c＜0， ∵对称轴x=﹣∴b＜0， ∴abc＞0； 故①正确； ∵对称轴x=﹣

=1， ＞0，

∴b+2a=0； 故②正确；

∵抛物线与x轴的一个交点为（﹣2，0），对称轴为：x=1， ∴抛物线与x轴的另一个交点为（4，0）； 故③正确；

∵当x=﹣1时，y=a﹣b+c＜0， ∴a+c＜b， 故④错误；

∵a﹣b+c＜0，b+2a=0， ∴3a+c＜0； 故⑤正确． 故选B．

点评：主要考查图象与二次函数系数之间的关系．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．

14．（2013镇江）二次函数y=x﹣4x+5的最小值是（ ） A．﹣1 B．1 C．3 D．5 考点：二次函数的最值．

2

分析：先利用配方法将二次函数的一般式y=x﹣4x+5变形为顶点式，再根据二次函数的性质即可求出其最小值．

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解答：解：配方得：y=x﹣4x+5=x﹣4x+2+1=（x﹣2）+1，

2

当x=2时，二次函数y=x﹣4x+5取得最小值为1． 故选B．

2

8．（2013徐州）二次函数y=ax+bx+c图象上部分点的坐标满足下表：

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x y … … ﹣3 ﹣3 ﹣2 ﹣2 ﹣1 ﹣3 0 ﹣6 1 ﹣11 … …

则该函数图象的顶点坐标为（ ） A．（﹣3，﹣3） B．（﹣2，﹣2） C．（﹣1，﹣3） D．（0，﹣6） 考点：二次函数的性质．

分析：根据二次函数的对称性确定出二次函数的对称轴，然后解答即可．

解答：解：∵x=﹣3和﹣1时的函数值都是﹣3相等， ∴二次函数的对称轴为直线x=﹣2， ∴顶点坐标为（﹣2，﹣2）． 故选B．

点评：本题考查了二次函数的性质，主要利用了二次函数的对称性，仔细观察表格数据确定出对称轴是解题的关键．

7．（2013宿迁）下列三个函数：①y=x+1；②

；③y=x﹣x+1．其图象既是轴对称图形，又是中心对称

2

图形的个数有（ ） A．0 B．1 C．2 D．3

考点：二次函数的图象；一次函数的图象；反比例函数的图象；轴对称图形；中心对称图形． 分析：根据一次函数图象，反比例函数图象，二次函数图象的对称性分析判断即可得解． 解答：解：①y=x+1的函数图象，既是轴对称图形，又是中心对称图形； ②y=的函数图象，既是轴对称图形，又是中心对称图形；

③y=x﹣x+1的函数图象是轴对称图形，不是中心对称图形；

所以，函数图象，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是①②共2个． 故选C．

点评：本题考查了二次函数图象，一次函数图象，正比例函数图象，熟记各图形以及其对称性是解题的关键．

6．（2013苏州）已知二次函数y=x﹣3x+m（m为常数）的图象与x轴的一个交点为（1，0），则关于x

2

的一元二次方程x﹣3x+m=0的两实数根是（ ）

A．x1=1，x2=﹣1 B．x1=1，x2=2 C．x1=1，x2=0 D．x1=1，x2=3 考点：抛物线与x轴的交点．

分析：关于x的一元二次方程x﹣3x+m=0的两实数根就是二次函数y=x﹣3x+m（m为常数）的图象与x轴的两个交点的横坐标．

解答：解：∵二次函数的解析式是y=x﹣3x+m（m为常数）， ∴该抛物线的对称轴是：x=．

又∵二次函数y=x﹣3x+m（m为常数）的图象与x轴的一个交点为（1，0）， ∴根据抛物线的对称性质知，该抛物线与x轴的另一个交点的坐标是（2，0），

∴关于x的一元二次方程x﹣3x+m=0的两实数根分别是：x1=1，x2=2． 故选B．

点评：本题考查了抛物线与x轴的交点．解答该题时，也可以利用代入法求得m的值，然后来求关于x的一元二次方程x﹣3x+m=0的两实数根．

7．（2013常州）二次函数y=ax+bx+c（a、b、c为常数且a≠0）中的x与y的部分对应值如下表：

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2

2

2

2

2

2

2

2

x y ﹣3 12 ﹣2 5 ﹣1 0 0 ﹣3 2

1 ﹣4 2 ﹣3 3 0 4 5 5 12

给出了结论：（1）二次函数y=ax+bx+c有最小值，最小值为﹣3； （2）当

时，y＜0；

（3）二次函数y=ax+bx+c的图象与x轴有两个交点，且它们分别在y轴两侧． 则其中正确结论的个数是（ ） A．3 B．2 C．1 D．0

考点：二次函数的最值；抛物线与x轴的交点．

分析：根据表格数据求出二次函数的对称轴为直线x=1，然后根据二次函数的性质对各小题分析判断即可得解．

解答：解；由表格数据可知，二次函数的对称轴为直线x=1，

2

所以，当x=1时，二次函数y=ax+bx+c有最小值，最小值为﹣4；故（1）小题错误； 根据表格数据，当﹣1＜x＜3时，y＜0，

所以，﹣＜x＜2时，y＜0正确，故（2）小题正确；

二次函数y=ax+bx+c的图象与x轴有两个交点，分别为（﹣1，0）（3，0），它们分别在y轴两侧，故（3）小题正确；

综上所述，结论正确的是（2）（3）共2个． 故选B．

点评：本题考查了二次函数的最值，抛物线与x轴的交点，仔细分析表格数据，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．

12．（2013南昌）若二次函数y=ax+bx+c（a≠0）的图象与x轴有两个交点，坐标分别为（x1，0），（x2，0），且x1＜x2，图象上有一点M（x0，y0）在x轴下方，则下列判断正确的是（ ）

2

A．a＞0 B．b﹣4ac≥0 C．x1＜x0＜x2 D．a（x0﹣x1）（x0﹣x2）＜0 考点：抛物线与x轴的交点．

分析：根据抛物线与x轴有两个不同的交点，根的判别式△＞0，再分a＞0和a＜0两种情况对C、D选项讨论即可得解．

2

解答：解：A．二次函数y=ax+bx+c（a≠0）的图象与x轴有两个交点无法确定a的正负情况，故本选项错误；

B．∵x1＜x2，

2

∴△=b﹣4ac＞0，故本选项错误； C．若a＞0，则x1＜x0＜x2，

若a＜0，则x0＜x1＜x2或x1＜x2＜x0，故本选项错误； D．若a＞0，则x0﹣x1＞0，x0﹣x2＜0， 所以，（x0﹣x1）（x0﹣x2）＜0， ∴a（x0﹣x1）（x0﹣x2）＜0，

若a＜0，则（x0﹣x1）与（x0﹣x2）同号， ∴a（x0﹣x1）（x0﹣x2）＜0， 综上所述，a（x0﹣x1）（x0﹣x2）＜0正确，故本选项正确． 故选D．

点评：本题考查了二次函数与x轴的交点问题，熟练掌握二次函数图象以及图象上点的坐标特征是解题的关键，C、D选项要注意分情况讨论．

6．（2013吉林省）如图，在平面直角坐标系中，抛物线所表示的函数解析式为y=﹣2（x﹣h）+k，则下列结论正确的是（ ）

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