2013年中考数学分类汇编之二次函数

2013年中考数学分类汇编之二次函数

一．选择题

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8．（2013舟山）若一次函数y=ax+b（a≠0）的图象与x轴的交点坐标为（﹣2，0），则抛物线y=ax+bx的对称轴为（ ）

A．直线x=1 B．直线x=﹣2 C．直线x=﹣1 D．直线x=﹣4 考点：二次函数的性质；一次函数图象上点的坐标特征．

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分析：先将（﹣2，0）代入一次函数解析式y=ax+b，得到﹣2a+b=0，即b=2a，再根据抛物线y=ax+bx的对称轴为直线x=﹣

即可求解．

解答：解：∵一次函数y=ax+b（a≠0）的图象与x轴的交点坐标为（﹣2，0）， ∴﹣2a+b=0，即b=2a，

∴抛物线y=ax+bx的对称轴为直线x=﹣

2

=﹣1．

故选C．

点评：本题考查了一次函数图象上点的坐标特征及二次函数的性质，难度适中．用到的知识点：点在函数的图象上，则点的坐标满足函数的解析式； 二次函数y=ax+bx+c的对称轴为直线x=﹣

10．（2013义乌）如图，抛物线y=ax+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），顶点坐标为（1，n），与y轴的交点在（0，2）、（0，3）之间（包含端点），则下列结论：①当x＞3时，y＜0；②3a+b＞0；③﹣1≤a≤﹣；④3≤n≤4中，正确的是（ ）

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．

A．①② B．③④ C．①④ D．①③ 考点：二次函数图象与系数的关系．

分析：①由抛物线的对称轴为直线x=1，一个交点A（﹣1，0），得到另一个交点坐标，利用图象即可对于选项①作出判断；

②根据抛物线开口方向判定a的符号，由对称轴方程求得b与a的关系是b=﹣2a，将其代入（3a+b），并判定其符号；

③根据两根之积=﹣3，得到a=﹣，然后根据c的取值范围利用不等式的性质来求a的取值范围； ④把顶点坐标代入函数解析式得到n=a+b+c=c，利用c的取值范围可以求得n的取值范围． 解答：解：①∵抛物线y=ax+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），对称轴直线是x=1， ∴该抛物线与x轴的另一个交点的坐标是（3，0）， ∴根据图示知，当x＞3时，y＜0． 故①正确；

②根据图示知，抛物线开口方向向下，则a＜0．

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∵对称轴x=﹣=1，

∴b=﹣2a，

∴3a+b=3a﹣2a=a＜0，即3a+b＜0． 故②错误；

③∵抛物线与x轴的两个交点坐标分别是（﹣1，0），（3，0）， ∴﹣1×3=﹣3， ∴=﹣3，则a=﹣．

∵抛物线与y轴的交点在（0，2）、（0，3）之间（包含端点）， ∴2≤c≤3，

∴﹣1≤﹣≤﹣，即﹣1≤a≤﹣． 故③正确；

④根据题意知，n=a+b+c=c． ∵2≤c≤3，

∴≤c≤2，即≤n≤2． 故④错误．

综上所述，正确的说法有①③． 故选D．

点评：本题考查了二次函数图象与系数的关系．二次函数y=ax+bx+c系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点抛物线与x轴交点的个数确定．

9．（2013衢州）抛物线y=x+bx+c的图象先向右平移2个单位，再向下平移3个单位，所得图象的函数解

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析式为y=（x﹣1）﹣4，则b、c的值为（ ）

A．b=2，c=﹣6 B．b=2，c=0 C．b=﹣6，c=8 D．b=﹣6，c=2 考点：二次函数图象与几何变换；函数的平移．

分析：先确定出平移后的抛物线的顶点坐标，然后根据向右平移横坐标加，向下平移纵坐标减求出平移前的抛物线的顶点坐标，然后写出平移前的抛物线的顶点式形式，然后整理成一般形式，即可得到b、c的值．

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解答：解：函数y=（x﹣1）﹣4的顶点坐标为（1，﹣4）， ∵是向右平移2个单位，再向下平移3个单位得到， ∴1﹣2=﹣1，﹣4+3=﹣1，

∴平移前的抛物线的顶点坐标为（﹣1，﹣1），

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∴平移前的抛物线为y=（x+1）﹣1，

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即y=x+2x， ∴b=2，c=0．

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故选B．

点评：本题考查了二次函数图象与几何变换，熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减，利用顶点的变化确定函数解析式可以使计算更加简便．

10．（2013宁波）如图，二次函数y=ax=bx+c的图象开口向上，对称轴为直线x=1，图象经过（3，0），下列结论中，正确的一项是（ ）

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A．abc＜0 B．2a+b＜0 C．a﹣b+c＜0 D．4ac﹣b＜0 考点：二次函数图象与系数的关系．

分析：由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断． 解答：解：A．根据图示知，抛物线开口方向向上，则a＞0． 抛物线的对称轴x=﹣

=1＞0，则b＜0．

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抛物线与y轴交与负半轴，则c＜0， 所以abc＞0． 故本选项错误； B．∵x=﹣

=1，

∴b=﹣2a， ∴2a+b=0． 故本选项错误；

C．∵对称轴为直线x=1，图象经过（3，0）， ∴该抛物线与x轴的另一交点的坐标是（﹣1，0）， ∴当x=﹣1时，y=0，即a﹣b+c=0． 故本选项错误；

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D．根据图示知，该抛物线与x轴有两个不同的交点，则△=b﹣4ac＞0，则4ac﹣b＜0． 故本选项正确； 故选D．

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点评：本题考查了二次函数图象与系数的关系．二次函数y=ax+bx+c系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点抛物线与x轴交点的个数确定．

9．（2013丽水）若二次函数y=ax的图象经过点P（﹣2，4），则该图象必经过点（ ） A．（2，4） B．（﹣2，﹣4） C．（﹣4，2） D．（4，﹣2） 考点：二次函数图象上点的坐标特征．

分析：先确定出二次函数图象的对称轴为y轴，再根据二次函数的对称性解答． 解答：解：∵二次函数y=ax的对称轴为y轴， ∴若图象经过点P（﹣2，4）， 则该图象必经过点（2，4）． 故选A．

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点评：本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，主要利用了二次函数图象的对称性，确定出函数图象的对称轴为y轴是解题的关键． 10．（2013湖州）如图，在10×10的网格中，每个小方格都是边长为1的小正方形，每个小正方形的顶点称为格点．若抛物线经过图中的三个格点，则以这三个格点为顶点的三角形称为抛物线的“内接格点三角形”．以O为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系，若抛物线与网格对角线OB的两个交点之间的距离为，且这两个交点与抛物线的顶点是抛物线的内接格点三角形的三个顶点，则满足上述条件且对称轴平行于y轴的抛物线条数是（ ）

A．16 B．15 C．14 D．13

考点：二次函数综合题；新定义；网格型．

分析：根据在OB上的两个交点之间的距离为3可知两交点的横坐标的差为3，然后作出最左边开口向下的抛物线，再向右平移1个单位，向上平移1个单位得到开口向下的抛物线的条数，同理可得开口向上的抛物线的条数，然后相加即可得解．

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解答：解：如图，开口向下，经过点（0，0），（1，3），（3，3）的抛物线的解析式为y=﹣x+4x， 然后向右平移1个单位，向上平移1个单位一次得到一条抛物线， 可平移6次，

所以，一共有7条抛物线，

同理可得开口向上的抛物线也有7条，

所以，满足上述条件且对称轴平行于y轴的抛物线条数是：7+7=14． 故选C．

点评：本题是二次函数综合题型，主要考查了网格结构的知识与二次函数的性质，二次函数图象与几何变换，作出图形更形象直观．

10．（2013杭州）给出下列命题及函数y=x，y=x和y= ①如果②如果

，那么0＜a＜1； ，那么a＞1；

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③如果④如果则（ ）

，那么﹣1＜a＜0； 时，那么a＜﹣1．

A．正确的命题是①④ B．错误的命题是②③④ C．正确的命题是①② D．错误的命题只有③ 考点：二次函数与不等式（组）；命题与定理． 分析：先确定出三函数图象的交点坐标为（1，1），再根据二次函数与不等式组的关系求解即可． 解答：解：易求x=1时，三个函数的函数值都是1， 所以，交点坐标为（1，1）， 根据对称性，y=x和y=在第三象限的交点坐标为（﹣1，﹣1）， ①如果②如果③如果④如果

，那么0＜a＜1正确；

，那么a＞1或﹣1＜a＜0，故本小题错误； ，那么a值不存在，故本小题错误； 时，那么a＜﹣1正确．

综上所述，正确的命题是①④． 故选A．

点评：本题考查了二次函数与不等式组的关系，命题与定理，求出两交点的坐标，并准确识图是解题的关键．

8．（2013龙岩）若二次函数y=ax+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列选项正确的是（ ）

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A．a＞0 B．c＞0 C．ac＞0 D．bc＜0 考点：二次函数图象与系数的关系．

分析：由抛物线开口向下得到a小于0，再根据对称轴在y轴左侧得到a与b同号得到b大于0，由抛物线与y轴交点在负半轴得到c小于0，即可作出判断． 解答：解：根据图象得：a＜0，c＜0，b＞0， 则ac＞0，bc＜0，

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