数学教育测量与评价

专题讲座

第一章 均值和方差的检验题

一、参数假设检验的几个基本因素

关于什么是参数假设检验，我们先看一个实际例子。“某班语文课教学采用研讨式方法后,对其中10名同学测验,平均成绩为85分。已知这个班过去测验成绩服从正态分布,其均值保持在82分左右,这意味着总体平均分

是给定的,那么现在问采用研讨式方法后,其

平均成绩是否和原来一致?” 如果我们假设采用研讨式方法后的平均成绩和采用研讨式方法前的平均成绩一致,则需要判断这种假设对不对? 如果对,对的把握性有多大? 如果不对,那么平均成绩比原来是增加还是减少? 当然,我们不能只看到85分高于82分就认为比原来高了,这是因为抽取样本时受到随机因素的干扰,我们不能以样本参数对总体参数进行单纯比较而简单地下结论。

这个例子所反映问题的是: 总体分布已知,对总体参数作假设,用统计理论来判断这一假设正确与否,统计学上称为参数假设检验。

一般说来，进行假设检验应重点关注以下几个基本因素：

其一，假设。

假设分为参数假设和非参数假设.参数假设指总体分布已知,关于未知参数的假设,教育研究中用的最多的是已知总体服从正态分布,对总体均值某校五年级学生期末语文成绩

,方差

,总体方差

做出假设。例如,

在过

在原有状况下不变,而均值

去常规教学下为82分。为了提高教学质量,采用新的教学法后抽测10名同学,其平均成绩为85分,这时我们提出采用新教学法后总体均值称

为原假设或零假设,相对于

为82分的假设,记为

,还要给出一个备选假设,记为

对这个例子我们不提本均值85大于82。

小于82这样的假设,这是因为这样的假设是没有根据的,原因在于样

其二，假设检验。

对于一个假设,我们关心的是“假设”是否成立。判断假设成立与否的方法叫假设检验，最简单的检验是显著性检验。 例如，已知

，对

v.s.

进行检验。

其三，检验水平。

当原假设正确时，若否定原假设犯错误的概率为＝0.05。

，称为检验水平。一般地，

取值为0.01, 0.05和0.10，但常用的是其四，两类错误。

统计学上有两类错误: 第一类错误和第二类错误。

第一类错误是,

实际上,显著性水平

是正确的,但检验的结论却是否定,记其概率为

就是犯第一类错误的概率,取的越大,否定的可能性就越大。

第二类错误是,是不对的,但检验结论却认为

是正确的,记其概率为

犯这两类错误的后果通常是不一样的,如检验某人是否患某种疾病,设:该人患有此

种疾病，则第二类错误是无病当作有病，但第一类错误却是有病当作无病，有可能使该人延误病情而发生意外。可见犯第一类错误的后果较第二类错误的后果严重。最理想的情况是找到一种检验方法使得两类错误的概率都为0，但实际情况是当样本量事先给定的情况下，第一类错误小，第二类错误就大；第二类错误小，第一类错误就大。也就是说不可能找到一个方法能同时控制两类错误，退而求其次，在样本量给定的情况下，把第一类错误控制在检验水平

以内（常用的是

＝0.05），尽量使第二类小一些。

其五，检验的一般步骤。

第一步：建立原假设 v.s. 备选假设＝not 。

第二步：构造一个检验统计量布。

，在原假设正确的条件下得到的分

第三步：由观测到的数据可以得到统计量 p=P(|

|≥|t|)

的观测值t，计算p值

若p值小于检验水平平

，则得出的结论是：原假设是不成立的；若p大于检验水

，则需要进一步采取别

，则得出的结论是：原假设是成立的；若p等于检验水平

的方法来处理一下。

二、总体均值、方差和概率的检验问题 （一）总体均值的检验

总体均值的检验方法有两种:检验和检验，这里我们主要介绍常用的t检验。利用服从分布的统计量进行的检验叫做检验.检验根据处理问题的不同主要涉及下面的三类检验问题。

第一，单正态总体，总体方差

未知，对总体均值

进行检验。

在实际应用中往往只知道总体服从正态分布，参数本方差

作为

的一个估计，从而构造t检验。设未知,设假设问题为

v.s.

是未知的，常用的方法就是用样

为来自正态总体＝not

.

的一个样本, 在

成立条件下,T统计量服从t分布，见如下

(3.1)

其中为样本方差，为样本均值，为自由度。再由样本数据计算出T统计量

的观测值值,在成立条件下计算p值 p＝P(|T|>|t|)。

若p值小于检验水平检验水平

，则得出的结论是：总体均值

与

与有显著差异；若p值大于

，

，则得出的结论是：总体均值没有显著差异；若p值等于检验水平

则需要进一步采取别的方法来处理一下。

例1：由已往资料知道某区6岁女童平均体重为19.2kg,现从某幼儿园抽测10名女童其体重（kg）数据为20.1，19.0，19.2，20.5,18.5,19.0,21.0,19.5,19.0,18.0。问该幼儿园6岁女童平均体重与某区6岁女童平均体重有无显著差异？（设体重服从正态分布, 检验水平

＝0.05）。

解：为样本量，未知，检验问题为 v.s. ＝not

则T统计量服从自由度为9的t分布。由样本数据计算得

p＝P(|T|>|t|)＝0.507>

.

p值大于检验水平说明该幼儿园6岁女童平均体重与本区6岁女童平均体重无显著性差异。

第二，方差，未知，但=，比较两总体均值和。

设样本,记

,分别来自正态总体,的两个独立

，

，

检验问题为 v.s. ＝not。

在成立条件下,构造统计量T,

(3.2)

给定检验水平值

p＝P(|T|>|t|)。

,再由样本数据计算出T统计量的观测值值,在成立条件下计算p

若p值小于检验水平于检验水平

，则得出的结论是：总体均值

和

和有显著差异；若p值大

，

，则得出的结论是：总体均值没有显著差异；若p值等于检验水平

则需要进一步采取别的方法来处理一下。

特别地，当时，称为配对数据，统计量为

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(3.3)

专题讲座 第一章 均值和方差的检验题 （一）总体均值的检验（续） 例2：从某中学初三学生中随机选定两个组(每组10人)进行语文教学改革试验。甲组采用讨论式方法,乙组采用讲授式方法,期末测验甲组平均成绩为78分,方差为15分,乙组平均成绩为73分, 方差为16分,问两种方法效果有无差异?(布。) )(设成绩服从正态分解：,假定两个总体的方差相等。

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