江苏专转本高等数学 导数计算及应用 例题加习题(6)

所以g??x??0。说明g?x?严格单调下降，g?x??g?即，sin?x?????2??， ?2??2?x。结合前面的两结论可知原命题成立。

1?x 1?x?2x例2.72．证明,当0?x?1时,有e?证明:原命题等价于:e?2x(1?x)?1?x

构造函数F(x)?e?2x(x?1)?(1?x),F(0)?0,

F?(x)?e?2x?e?2x(x?1)(?2)?1,F?(0)?0,F??(x)=4xe?2x?0(0?x?1)

F?(x)严格单调上升, F?(x)>F?(0)?0

F?x?严格单调上升,即F(x)?F(0)?0，

亦即，e?2x(x?1)?(1?x)?0，即原命题得证。 例2.73． 证明：当0?x?2时，4xlnx?x2?2x?4?0。 证明:令F(x)?4xlnx?x?2x?4，

2F?(x)?4lnx?2x?2，F?(x)?0有且仅有一根x?1，

4F??(x)??2?0。? F(x)在x?1取极小值，

xxlnx?x?2x?4)?4，F(2)?8ln2?4?0,?Fmin?0， F(1)?1，F(0)?lim(4 ?x?02所以，F(x)?4xlnx?x2?2x?4?Fmin?0，命题得证. 例2.74．证明：当x?0时,ln?1?x??arctanx

1?x证明: 原命题等价于：?1?x?ln?1?x??arctanx，

构造F?x???1?x?ln?1?x??arctanx，F?0??0，

F?(x)?ln?1?x??1?1?0 ，所以F?x?严格单调上升， 1?x2F(x)?F(0)?0，即原命题得证。

3例7. 证明:当x?2时,3x?x?2

证明:令f?x??3x?x，f??x??3?3x，

32由f??x??0得，x??1，

f??2???6?8?2，f?2??6?8??2,f?1??3?1?2,f??1???3?1?2；

所以，当x?2时，fmax?2,fmin??2，即?2?f?x??3x?x?2，

32即，3x?x?2 成立。

单元练习题2

1．y?xx,dy? 。 2．f?(x)?2,则limh?0f(2?3h)?f(2?3h)= 。

h3．设x2y?xy2?2y3?1，确定y?y(x)，则y?= 。

4．若y?f(x)在x0可导，且f(x0)为其极大值，则曲线y?f(x)在点(x0,f(x0)）处的切线方程是 。

5．如果满足f(x)?f(0)?x??(x)，且limx?0?(x)x?0，则f?(0)= 。

6．函数y?xe7．y?1??x的极值点为 ，它的图形拐点为： 。

2x的渐进线为： ，垂直渐进线为： 。 2(x?1)8． 设y?f(x)二阶可导，且f?(x)?0,f??(x)?0,，又?y?f(x??x)?f(x)，?x?0，

dy?f?(x)?x，则?y与dy相差是 。

xy9． y?f(x)由ln(x?y)?e确定，则y?|x?0? 。

10．函数y?x?3x?x?9的凹区间为 。

3211.f(?x)??f(x),且f?(?x0)?k,则f?(x0)? 。 12．

1d11(f(2))?,则f?()? 。

2dxxxdy= 。 dx13．函数f为可导函数，则y?sin{f[sinf(x)]}，则

14．函数y?f(x)由方程e2x?y?cos(xy)?e?1所确定，则曲线y?f(x)在点（0，1）处的切线方程为： 。

1?2xsin,x?0?15． 设f(x)??在x?0处可导，则 x??ax?b,x?0（A）a?1,b?0 (B) a?0,b为任意实数 （C）b?0,a?0 （D）a?1,b为任意实数

16．设函数y?f(x)在x?a处可导，则函数y?f(x)的绝对值在x?a处不可导的充分条件是：

（A）f?a??0,f??a??0 （B）f?a??0,f??a??0 （C） f?a??0,f??a??0 （D）f?a??0,f??a??0 17．f(x)?3x?x|x|,则使存在的最高阶导数n为: （A）0 （B）1 （C）2 （D）3 18．y?ln(x?1?x2),则下列正确的是： （A） dy?221x?1?x2 （B）dy?11?x2dx

（C） y'?1?x2dx （D） y'?1x?1?x2

19．曲线y?6x?24x?x的凸区间为： （A）??2,2? （B）???,0?

24（C） ?0,??? （D）???,???

20．函数y?sinx在区间?0,??上满足罗尔定理的??（ ）

?? （C） （D）? 42f?x?f?x??（ ） 21．设f?0??0，且极限lim存在，则limx?0x?0xx（A）0 （B）

（A） f?(x) (B) f??0?

1f??0? 222. 设y?f(x)可导，则f(x?2h)?f（x）?

(C ) f?0? (D)

（A） f?(x)h?o(h) (B) ?2f??x?h?o?h? (C) ?f??x?h?o?h? (D) 2f??x?h?o?h?

23 若直线L与OX轴平行，且与曲线y?x?e相切，则切点坐标为：（ ） （A） ?1,1? (B) ??1,1? (C) ?0,?1? (D) ?0,1? 24.设f(x)?e3xxsin(3x)，则下列式中正确的是（）

1 (C) f??0??1 (D) f??0?不存在 3 （A） f??0??3 (B) f??0??25.设y?arctan26.y?esin(x2?1)x?1,求y?. x?1,求dy

27.y?xsinx,求y?

yx28.设y?y(x)由x?y确定,求dy 29.y?x?1,求y???0? x?130.设f(x)已知二阶可导函数,求y?f(x2)的二阶导数. 31.f(lnx?1)?ex?3x,求

t?d2y?x?esint32.?,求 2tdx??y?ecostt??x?te33.设曲线x?x(t),y?y(t),由方程组?t确定，求该曲线在t?1时的斜率k。 y??e?e?2edf(x). dxx2n34.y?,求y??.

1?xn35.y?x3lnx,求y??. n36.y?(1?x2)cosx,求y??.

?x,x?01?37.f(x)??1?ex,求f??x? .

??0, x?01?(x?2)arctan,x?2?38.f(x)??，求f??x?. x?2??0, x?239.y?|?x?1?40.y?22

?x?1?3|,求y?.

x2?2x?3，求y?.

1?2?xsin,x?041.f(x)??,（1）求f??x?, （2）求f??x?在x?0处是否连续. x?x2, x?0?dyd2yx,42.方程lny??0确定y?y(x),求 dxdx2y?2?x2,|x|?243.设f(x)??，求f??x?。

?2, |x|?2

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