江苏专转本高等数学 导数计算及应用 例题加习题

第二章 导数计算及应用

本章主要知识点

? 导数定义

? 复合函数求导,高阶导数,微分 ? 隐函数,参数方程求导 ? 导数应用

一、导数定义

函数y?f?x?在x?x0处导数定义为

f(x0?h)?f(x0)

h?0hf(x0?h)?f(x0)左导数 f??(x0)?lim

h?0?hf(x0?h)?f(x0)右导数 f??(x0)?lim

h?0?h f?(x0)?lim?(x0),f??(x0)有限且f??(x0)?f??(x0) 导数 f?(x0)存在?f?分段点求导必须应用定义。 两个重要变形：

?x0)?lim1. f（x?x0f(x)?f(x0)

x?x0f(x0?mh)?f(x0?nh)?(m?n)f?(x0)

h?0hf(1?2h)?f(x0?5h)例2.1. 若f?(1)??2，求lim

h?0hf(1?2h)?f(x0?5h)解：lim＝(?2?5)f?(1)?14

h?0h2. 若f?(x0)存在，lim例2.2. 若f?(0)?2,f(0)?0,求limx?0f(2x) 1?sin(3x)?1解：limx?0f(2x)f(2x)?f(0)f(2x)?f(0)48＝lim??2lim??f?(0)??

x?03x331?sin(3x)?1x?0?1sin3x2?x2?x,x?0例2.3．f(x)?? 求f?(0) 3?2x?x,x?0f(0?h)?f(0)h2?h?0?lim?1 解： f??(0)?limh?0?h?0?hh3f(0?h)?f(0)2h?hf??(0)?lim?lim?2

h?0?h?0?hhf??(0)?f??(0) 所以f'(0)不存在.

例2.4．f(x)?2|x|，求f??0?

?2x,x?0解： f(x)???x

?2,x?0hhln2f(0?h)?f(0)2?1e?1hln2f??(0)?lim?lim?lim?lim?ln2

h?0?h?0?h?0?h?0?hhhhhf(0?h)?f(0)2?1f??(0)?lim?lim??ln2

h?0?h?0?hh所以f?(0)不存在。

1?2?xsin?sinx,x?0例2.5．f(x)?? 求f??0?。 x?0,x?0?1hsin?sinh21h解： f?(0)?lim?limsin?不存在

h?0h?0hh所以 f??0?不存在

?f(1?x)?f(1?3x),x?0?ln(1?x)?? 例2.6．如果f??1??2，分析函数f(x)??0,x?0在x=0处的连续性。

?f(1?x)?f(1?2x)?,x?02xe?1??

f(1?h)?f(1?2h)13?(1?(?2))f?(1)?f?(1)?3

h?02h22f(1?h)?f(1?3h)f(1?h)?f(1?3h) f(0?0)??lim?lim??4f?(1)??8

h?0h?0ln(1?h)h解：f(0?0)??lim 所以 f(x)在x=0处不连续。

二、复合函数求导、高阶导数、微分

1．复合函数中的层次关系识别

正确识别复合函数构建的层次是快速准确求导复合函数的关键。下列通过几个例子来说明复合函数层次识别问题。 例2.7．y?e1sin(cos)x

由外及里y分为四层：e?sin?cos?例2.8．y?lnxsin2x

1 xy分为一层：?

32例2.9．y?sinsinx?tanx

??y分为三层：立方?sinx??

例2.10．y?sin(ln?2x?1?x2

?y分为四层：?sin?ln??

化分清层次的同时，要注意每一层符号下的变量是什么，不可混淆。 2、复合函数的求导原则

我们将求导的所谓“链式规则”等价转化为求导“口诀”：

“外及里；号变号；则用则；层间乘”。

例2.11．y?2xsin3x，求y?，

xsin2xln2?xsin3x?? 解：y??2?2xsin3xln2x?sin3x?x?sin3x??

???2xsin3xln2?sin3x?xcos3x3? ?2xsin3xln2?sin3x?3xcos3x?

例2.12．y?earctan(sin2x)，求y?；

arctan(sin2x解：y??e)2cos2x

1?sin22x2例2.13．y?解：y??xesinx，求y?；

22x?esinx?x(esinx)?

?12x2esinx2?xesinx2cos(x2)2x

?esinx(12x?2xxcosx2)

例2.14．y?sin2(ln2x?1?x2)，求y?

解： y??2sin(ln(2x?1?x))cos(ln(2x?1?x))2212(?2x) 22x?1?x22x?1?sin2ln??2x?1?x2??1?1??2x? 2?2x?1?x?2x?1?分段函数求导时，要切记对于分段点的导数要用定义。

?x3?x,x?0例2.15．f?x???3，求f??x?

??x?x,x?0?3x2?1,x?0解：f??x??? 2??3x?1,x?0f?h??f?0?h3?hf???0??lim?lim?1

h?0?h?0?hhf?h??f?0??h3?hf???0??lim?lim?1 ?h?0?h?0hhf?(0)?1，

?3x2?1,x?0?1,x?0综合得，f??x???。 ??3x2?1,x?0?例2.16. f?x??2x?a，求f??x?

?2x?a,x?a?解：f(x)??1, x?a

?2a?x,x?a?x?a??2ln2,x?af?(x)??a?x

???2ln2,x?af???a??lim?f?a?h??f?a?2h?1?lim?ln2， ?h?0h?0hh?hf?a?h??f?a?2?1f???a??lim?lim??ln2

h?0?h?0?hh所以f??a?不存在。

1?2xsin?sinx,x?0?例2.17. 已知f?x???， x?x?0?0（1）求f??x?；（2）研究f??x?在x?0处的连续性。 解：（1）f??x??2xsin11?1?x2cos?2?cosx， xxx11f??x??2xsin?cos?cosx?x?0?

xx12hsin?sinhf?h??f?0?1hf??0??lim?lim?1?limhsin?1。

h?0h?0h?0hhh11（2）limf??x??lim2xsin?limcos?1

x?0x?0xx?0x1limf??x??1?limcos，不存在， x?0x?0x故f??x?在x?0处不连续，且为II类间断。

百度搜索“77cn”或“免费范文网”即可找到本站免费阅读全部范文。收藏本站方便下次阅读，免费范文网，提供经典小说综合文库江苏专转本高等数学 导数计算及应用 例题加习题在线全文阅读。