江苏专转本高等数学 导数计算及应用 例题加习题(4)

f(h)?f?(0)g(h)?g(0)f(h)?f?(0)h： g?(0)?lim?limh?lim2h?0h?0h?0hhhf?(h)?f?(0)f??(h)f??(0) ?lim?lim?h?0h?02h22

xf?(x)?f(x)f??xf??(x)?f?(x)f??(x)f??(0)?lim?lim?

h?0x?0h?0x?0x22x22f??(0)所以limg?(x)?g?(0)?，故g?(x)在=0处连续。

x?02因limg?(x)?lim综上所述g(x)有一阶连续导数。

3．函数单调性、凹凸性、极值、拐点及渐进性

a、 单调性

如果f?(x)?0,x?I则f(x)在I上严格单调增加，f?(x)?0,x?I，则f(x)在I上

严格单调减少。

满足 f?(x)?0的点称为驻点。 b、 极大值，极小值

判别?:如果在x?x0的附近，当x?x0，f(x)单调增加，x?x0，f(x)单调减少，则f(x)在x?x0取得极大值，反之取极小值。

判别II：如果f(x)在x?x0邻域存在两阶导数，且f??(x0)?0取极小值，f??(x0)?0取极大值。

极值点可能出现在驻点或导数不存在的点上。

c、 凹凸法

x?I，x?I， f??(x)在I上存在，如果f??(x)?0，则f(x)在I上向上凹；f??(x)?0，则f(x)在I上向上凸。

d、 拐点

凹凸性发生改变的界点称为拐点。它可能出现在f??(x)?0的点或f??(x)不存在的

点。 e、 渐进线

如果limf(x)?A，则y?A为y?fx?x??如果limf(x)??，则x?a?的水平渐近线；

x?a为y?f?x?的垂直渐近线。

有了以上的准备知识，分析函数的单调性，凹凸性，极值，拐点，的问题流程为 （1） 求定义域，渐近线； （2） 计算y?, y??；

（3） 求y??0，y???0的点和找出使y?, y??不存在的点，设为 x1,x2,（4） 列表分析； （5） 结论。

例3.53．分析函数y?xe?x,xn；

的单调性，凹凸性，极值，拐点及渐近线。

解：（1）定义域为x?R，

?x 渐近线：因limxe?limx???x1?lim?0

x???exx???ex y?0，即x轴为水平渐近线

?x （2）y??(1?x)e

y????1e?x?(1?x)(?1)e?x?(x?2)e?x，由y??0得x?1，由y???0得x?2

（3）列表分析

（4）y?xe在(??,1)上单调上升向上凸，(1,2)上单调下降，向上凸，(2,??)上单调下降，向上凸，（1，e）为极大值点，（2，2e?1?2x (??,1) y? ? y?? ?y 1 极大值 (1,2) ?2 拐点 ? (2,??) ?? ?? y?1??e?1 ?? y?2??2e?2 ?? ?x）为拐点。

1?x2例2.54．分析y?的单调性，凹凸性，极值，拐点，及渐近线。

1?x2解：（1）定义域x??1，

1?x2??1，所以y??1为水平渐近线。 因limx???1?x21?x2??，所以x??1为垂直渐近线。 因limx??11?x22x(1?x2)?(1?x2)(?2x)4x（2）y??， ?(1?x2)2(1?x2)y???4?1?x2??4x?2?1?x2???2x??4?12x2，

?1?x?24?1?x?23由y??0得x?0；当x??1，y?，y??不存在。 列表分析

x (??,?1) y? y?? y ?1 拐点 ? ?(?1,0) ?0 极小值 ? (0,1) ?1 (1,??) ? ?? ? ?? y?0??1 ? 拐点 ?? 1?x2

函数在(??,?1)上单调下降，向上凸；在??1,0?单调下降，向上凹； 2

1?x

?0,1?单调上升向上凹；(1,?)单调上升向上凸。?0,1?为极小值点，x??1处为拐点。

例2.55．已知函数f(x)?alnx?bx2?x在x?1与x?2处有极值，试求a,b的值，并求f?x?的拐点。 解：f??x??a?2bx?1, 题意知f?(1)?0，f?(2)?0，得： x?a?2b?1?0? ?a?4b?1?0??2解得：a??21,b??， 36a21f????2?2b?2??0, 解得x??2（负号舍去）。

x3x3当0?x?故x?2，f??(x)?0，向上凹， 当x?2时，f??(x)?0，向上凸，

2为f(x)的拐点。

4．最大值、最小值与实际应用

将导数应用到实际问题的最大、最小或更广泛的最优问题的求解中是非常重要的考点。是考查考生实际应用能力的一个很重要的知识点，它可能涉及到几何、物理学、经济学等方面的内容。 分析问题的流程为：

（1）适当假设求解变量x。 （2）函数关系y?y(x)确定；

（3）y??0求解，交待y最大、最小的理由；

（4）合理分析。

注：第二步是整个问题的关键步骤，(3)中的理由部分可能是容易疏忽之处。 例2.56．（几何问题）半径为R的半圆内接梯形， （1） 何时面积最大？ （2） 何时周长最长？

解：设上底长度为2x，即OF?x，

如图所示，OE?A E B

R2?x2，

222D

2O

图示2.2

F

C

（1）S(x)?(2x?2R)R?x/2?(x?R)R?x

S'(x)?R2?x2?(x?R)?2x2R?x22?R2?x2?x(x?R)R?x22

由S?(x)?0解得x?R/2 （x??R舍去） 因为x?R为唯一驻点，即为所求（或S?(R/2)?0） 2此时Smax?3322R2R/2?R 2422（2）l(x)?2x?2R?2BC?2?x?R??2CF?BF ?2(x?R)?2R2?x2?(R?x)2

?2(x?R)?22R2?2Rx

l?(x)?2?2?2R22R?2Rx2?2?2R2R?2Rx2，

由l?(x)?0得x?R/2。

因x?R/2为唯一驻点，即为所求（或l''(R/2)?0），

R?R)?22R2?R2?5R。 2例2.57．（几何问题）半径为R的圆板，剪下圆心角?围成一个圆锥漏斗，问?为何角

lmax?2(度时，使得漏斗的容积为最大？ 解：设圆锥漏斗的下底半径为x，

V(x)?11SH??x2R2?x2 33R O 1?2xV?(x)??(2xR2?x2?x2)

2232R?x1x222 ??x(2R?x?)

223R?x由V?(x)?0解得x?0舍去，x??图示2.3

??2R（负号舍去） 3所以，符合题意的驻点是唯一的x?2R， 3R

即为所求（或V??(2R)?0）， 3x O

图示2.4

123233Vmax??R2R??R

333272R2?x263???。 由2?x??R推知??RR3例2.58．（几何问题）设计一个容积为V＝16?（m3）的立方

2?体的有盖圆锥贮油桶，已知单位面积造价：顶、侧面、底面为1:2:3，问贮油桶的尺寸如何设计使造价最低？ 解：设该圆柱形底面半径为r，高为h，

顶单位造价为l（元/平方米），

2由?rh?V,得 h?r

图示2.5

V16?， 22?rr

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