22总造价函数 M??r3l?2?rh?2l??r?l ?4?l(r?216), r M??4?l(2r?16)?0, r2解得:r?2;唯一驻点,即为所求(或M???2??0), 此时 h?V?4。 ?r2
例2.59.已知某厂生产x件产品的成本为C(x)?25000?200x?12x(元),产品产量 40x与价格P之间的关系:P(x)?440?1x(元) 20求:(1)要使平均成本最小,应生产多少件产品?
(2)当企业生产多少件产品时,企业可获最大利润,并求最大利润? 解:(1)平均成本
C(x)25001??200?xxx40
25001C?(x)??2??0x40C(x)?解得: x?1000(件),因C??(1000)?0
所以x?1000(件),平均成本C(x)最小,Cmin?300(元/件) (2)利润函数
Q(x)?P(x)?C(x)?440x?1212x?25000?200x?x 204032x?240x?25000, 406Q?(x)??x?240?0 得:x?1600(件),
40??唯一驻点,即为所求,Qmax?127000(元)。
例2.60.一租赁公司有40套设备要出租。当租金每月每套200元时,该设备可以全部 租出;当租金每月每套增加10元时,租出的设备就会减少1套;而对于租出的设备,每 月需要花20元的修整费。问:租金定为多少时,该公司可获最大利润?
解:设每月每套租金定为(200?10x),则租出设备总数为40x,每月的毛收入为
(200?10x)(40?x);维护成本为(40?x)?20,于是利润为
L(x)?(200?10x)(40?x)?7200?220x?10x2(0?x?40),
L?(x)?0?x?11 比较L(11),L(0),L(40)处利润:L(11)?L(0)?L(40); 所以,租金为(200?10?11)?310元时,利润最大。
5.罗尔定理、微分中值定理及其应用
Rolle定理:如果f(x)在(a,b)可导,在[a,b]上连续,且f(a)?f(b),则??(a,b)存在,使得f?(?)?0。
Lagrange中值定理:如果f(x)在(a,b)可导,在[a,b]上连续,则存在??(a,b),使得f(a)?f(b)?f?(?)(b?a)。
例3.53.问下列函数哪个函数不满足拉格朗日中值定理条件:( ) A)y?sinx,x?[??,?],B)y?x|x|,?1?x?1
C)y?3x,?1?x?1, D)y?x2?1,?1?x?1
3解:选择C,因为y?x在x?0处导数不存在。
?1,1]例2.61 已知f(x)?arctanx,x?[,求Lagrange中值定理中的?。
?)?解:f(1)?f(?1)?2f?(324,即????1 21???例2.62.证明f(x)?x?8x?a在[0,1]上不可能有两个零点.
证明:反证法。如果在[0,1]上有两个零点x1,x2(不妨设x1?x2),即f?x1??f(x2)?0.
f?x?在[x1,x2]满足定理条件,所以存在??(0,1)时,3?2?8?0,故矛盾,原命题得证.
例2.62.设f(x)可导,求证f(x)的两个零点之间定有af?x??f?(x)的零点. 证明:构造辅助函数F(x)?f(x)e .
设x1,x2为f?x?的两个互异零点,不妨假设x1?x2,且f?x1??f(x2)?0 所以F(x)在[x1,x2]上满足罗尔定理条件,故存在??(x1,x2)使得
axF?(?)?af(?)ea??f?(?)ea??0。
所以f?(?)?af(?)?0,命题得证.
例2.63.f(x)在[b,a]上二阶可导,f(a)?0,设F(x)?(x?b)2f(x),证明:存在
??(b,a),使得F??(?)?0.
证明:由于F(b)?0,F(a)?0且F(x)在[b,a]上二阶可导,所以F(x)在[b,a]满足罗尔定理,故存在?1?(b,a)使得F?(?1)?0,F?(x)?2(x?b)f(x)?(x?b)2f?(x) 知F?(b)?0。
?(x),?现在考虑g(x)?Fx[?b],在[b,?1]满足罗尔定理条件,所以存在1,其
??(b,?1)?(b,a),使得F??(?)?0。
例2.64.证明方程x4?4x?3?0只有一个正根.
证明:(1)根的存在性
令f(x)?x4?4x?3,x?[0,1],f(0)??3,f(1)?2?0,由于f(x)在闭区间[0,1]上连续,故由闭区间连续函数介值定理知,存在??(0,1),使得f(?)?0, 即,方程f(x)?x?4x?3?0有正根.
(2)根的唯一性
应用反证法。设有两个不同根x1,x2,(x1?x2),则f(x)?x4?4x?3在[x1,x2]上满足罗尔定理条件,所以,存在??(x1,x2),使得f?(?)?4?3?4?0,这不可能,故矛盾,所以根是唯一的。 综合(1)(2),原命题成立。
例2.65.证明:方程sinx?x有且仅有一实根。
证明:x?0是方程的一个根。
对|x|?1,方程无根,只要考虑x?[?1,1],令f(x)?sinx?x,f(0)?0,
4f??cosx?1,当x?[?1,0)时,f?(x)?0,f(x)严格单调上升,f(x)?0,当x?(0,1]时,f?(x)?0,f(x)严格单调上升,f(x)?0,总之,方程仅有一实根0。
注:注意上述两例的区别。
例2.66.设函数f(x)在?0,c?上具有严格单调递减的导数f?(x),f(x)在x?0处连续且
f(0)?0,试证:对于满足不等式0?a?b?a?b?c的a,b均有下式成立:
f(a)?f(b)?f(a?b)。
证明:f(x)在?0,a?上满足拉格朗日的定理条件,故存在?1?(0,a)使得
f(a)?f(0)?f?(?1)a,
由f(0)?0,所以f(a)?f?(?1)a;
f(x)在(b,a?b)上满足拉格朗日的中值定理条件,故存在?2?(b,a?b)使得
f(a?b)?f(b)?f?(?2)(a?b?b)?f?(?2))a
由于?1?a?b??2,而f?(x)是单调下降的函数,故f?(?1)?f?(?2); 所以f(a?b)?f(b)?f(a)成立,即f(a?b)?f(a)?f(b),原命题得证。 例2.67.f(x)在?0,a?上连续,且(0,a)内可导,f(a)?0。 证明:存在??(0,a),使得f(?)??f?(?)?0。 证明:构造F(x)?xf(x),x?(0,a),
F(x)在(0,a)上可导,?0,a?上连续,且F(0)?0,F(a)?af(a)?0,
故F(x)在?0,a?上满足罗尔定理,故存在??(0,a),使得
F?(?)??f?(?)?f(?)?0,
例
即原命题得证。
2.68.设f(x),g(x)在[a,b]上存在二阶导数,g??(x)?0,
f(?)f??(?)? g(?)g??(?)证明:构造p(x)?f(x)g?(x)?f?(x)g(x),由条件p(a)?p(b)?0,p(x)满足罗尔定理条件,因此存在??(a,b)使p?(?)?f(?)g?(?)?f?(?)g(?)?0,因为
f(?)f??(?)g??(x?)0?g,?((否则)g(a)?g(b)?g(?)?0推得g??(c)?0)?,于是。
??g(?)g(?)f(a)?f(b)?g(a)?g(b)?0,证明:存在??(a,b)使
例2.69.已知f(x)在?0,a?上连续,在(a,b)内f??(x)存在,又过点A(a,f(a)),B(b,f(b))两点直线交曲线y?f(x)于C(c,f(c)),且a?c?b。试证明:在(a,b)内至少存在一个?使得f??(?)?0。
证明:构造F(x)?f(x)?f(a)?f(b)?f(a)(x?a),
b?a由题意可知:F(a)?0,F(b)?0,F(c)?0。
F(x)在?a,c?和?c,b?上分别满足拉格朗日定理条件。故存在?1?(a,c)使得
F?(?1)?0,存在?2?(a,c)使得F?(?2)?0;
(?1,?2)?(a,b)使得F?(x)在区间??1,?2?上满足罗尔定理条件。所以存在??F??(?)?0。
而F??(x)?f??(x),故f??(?)?0,原命题得证。
6.函数不等式证明
通常证明不等式的方法有:应用微分中值定理;应用单调性;函数最大最小值。 例2.70.证明arctana?arctanb?b?a 证明:当a?b时,原不等式显然成立。
当a?b(无妨设a?b),设f?x??arctanx,在?a,b?上满足拉格朗日定理,存
在??(a,b)使得;
arctanb?arctana?两边取绝对值,
1(b?a), 21??arctanb-arctana?b?a。
例2.71.证明:当0?x??2时,
2?x?sinx?x成立。
证明:构造f?x??x?sinx,f?0??0,
f??x??1?cosx?0 (0?x?则f?x?在?0,?2)
????上严格单调上升,f?x??f?0??0, 2??sinxxcosx?sinx,g??x??, 2xx即,x?sinx。 构造g?x??令F?x??xcosx?sinx,F??x??cosx?xsinx?cosx??xsinx?0 所以F?x?严格单调下降,F?0??0,故F?x??0,
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