江苏专转本高等数学 导数计算及应用 例题加习题(2)

3. 高阶导数与微分

（1）高阶导数

d2yd?dy?d?n?1?y y???2???，y?n??dxdxdx?dx???几个常用公式

?1?（1）???ax?b?（2）?sinx??n??n????1?nn!?ax?b?na n?1n???sin?x?2?n???cos?x?2??? ??? ?（3）?cosx??n?（4）e???x?n???ne?x

?n?i?????cnuvii?0nn?i?（5）莱伯尼兹公式 ?uv?

例2.18. y?xe解：y??e?2x?2x，求y???0?

?x??2?e?2x

y??e?2x?1?2x?

y????2e?x??1?2x?e?2x??2? y???e?2x??4?4x? y??(0)??4

102x例2.19. y?xe，求y??

解：y?10???ci?010i10?x??e?2x?i??n?i?

y?10??x2ex?20xex?90ex

1，求y?n?

?2x?1??x?2?1解：y?

?2x?1??x?2?例2.20．y?1?2x?1??2?x?2? ???5?2x?1??x?2?1121?????

5x?252x?1y?n?1?1?????5?x?2??n?2?1????5?2x?1??n?！2??1?n!n1??1?n??????2 n?1n?15?x?2?5?2x?1?nn?n?例2.21．y?ln?2x?1? ，求y

解：y???n?2 2x?1y?2??1??n?1?!?2n?1???1??2n??n?1?!,n?2

??nn?2x?1??2x?1?2?n?1?n?1例2.22．f?x??cosx，求f2解：f?x??cosx??50??0?

1?cos2x 2f?n??x???1nn??n????n?1?2?cos?2x???2cos2x??? ?222????f(50)(0)??249cos(25?)?249

例2.23．f?x??sin5xcos2x，求f解：f?x??(n)?x?

1?sin7x?sin3x? 2f?n??x??1nn???7sin?7x?22?n??1n??3sin3x???2?2??? ?（2）一阶微分

定义：对于函数y?f(x)，如果存在常数A，使得：

f(x0??x)?f(x0)?A?x?o(?x)??x?0?

则称f(x)在x?x0处可微。

成立：f?x?在x?x0可导?可微，且dy?f?(x0)dx。

dy?f??x?dx可作为微分求解公式。

例2.24．y?xsin2x，求dy|解：y??sin2x?2xcos2x

x??2

y?()?sin???cos???? 2dy?y?()dx???dx。

2sin2x例2.25．y?，求dy。

x2xcos2x?sin2x2xcos2x?sin2xdy?dx 解：y??，

x2x2???2?x?2例2.26．f(x)??xe,x?0，求df|x?0

??xsinx,x?0f(h)?f(0)解：f??(0)?lim

h?0?hh2e?limh?0?h?h222?0，

f(h)?f(0)hsinhf???0??lim?lim?0，

h?0?h?0?hh故f?(0)?0，所以dy|x?0?0?dx?0。

例2.27．利用微分近似计算e0.05。 解：令?x?0.05,x0?0,f(x)?ex，

则e0.05?ex0??x?ex0?f'(x0)?x0=1?1?0.05?1.05。

4、求导中若干特别问题 （1）奇偶函数导数

结论：奇（偶）函数的导数为偶（奇）函数。

例2.28．f（x）为奇函数，f?(?2)?5,f?(?5)?(5)。

例2.29． f(x)为可导函数，则f(x)?f(?x)的导数为（偶函数）。 （2）dlnx?1dx x

(ln(x?x2?a))??1x?a2 （3）f(x)?(x?a)m|(x?a)n|,(n为奇），在x＝a导数最大阶数等于m+n-1. 例2.30． f(x)?(x2?2x?3)|(x?3)(x?1)3|导数最大阶数为（1阶）。 （4）(u(x)v(x))??(evlnu)??u(x)v(x)(v?lnu?vu?) u

例2.31． y?(sinx)x,求y? 解：y??(sinx)x(lnsinx?xcotx) （5）符号型求导

2例2.32. y?f(f(x)),求y?。

解：y??f?(f(x))?2f?(x2)?2x

三、隐函数、参数方法求导

1．隐函数求导

由方程F(x,y)?0确定的函数y?y(x)，隐函数求导可看成复合函数求导的特例。 例2.33．由xy2?ey?sin(3x?2y)?x确定隐函数y?y(x)，求解：方程两边对x求导得

dy。 dxy2?x?2yy??eyy??cos(3x?2y)(3?2y?)?1

1?y2?3cos(3x?2y) y??y2xy?e?2cos(3x?2y)例2.34．由方程sin?2x?y??y?1确定隐函数y?y?x?, 求y?,y??.

2解：sin?2x?y??y?1

2 方程两边对x求导，得：cos?2x?y??2?y???2yy??0 （*）

y?=

?2cos(2x?y)，（*）式再对x求导，得：

2y?cos(2x?y)22?sin?2x?y??2?y???cos?2x?y??y???2?y???2yy???0

sin?2x?y??2?y???2?y??4y2sin?2x?y??4cos2?2x?y? y????22y?cos?2x?y???2y?cos?2x?y???例2.35．已知y?y?x?由方程(y?1)e?xe?2e确定，求y?(0).

xxyx22解： 将x?0代入(y?1)e?xe?2e，得到y?3。

xxyx

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