江苏专转本高等数学 导数计算及应用 例题加习题(3)

xxxyxy???2ex， 方程两端对x求导，得e(y?1)?y?e?e?xe?y?xy2ex?(y?1)ex?exy?xyexy2?2?1???1。 y??，y0???1ex?x2exy2．参数方程求导

?x?x(t) 问题： ??y?y(t)dyd2y,求,2.

dxdxdyddy()2(y?)?dydtdxdydtyt?t?求导公式： ==，=. 2dxdxdxxt?dxxt?dtdt?x?ln(1?t2)dyd2y例2.36．已知? 求,2.

dxdxy?t?arctant?11?2dyyt?t1?t解：===，

2tdxxt?21?t2ddy1()dydtdx1?t22===. 2dx2tdx4tdt1?t22?x?tsint?2dyd2y?例2.37．已知?，求，2，并给出t?时y?y(x)的切线法线方程.

dx2dx?y?2?tcostddy()dyyt?cost?tsintdydtdx?2?t2解: ==,2==， 3dxdxxt?sint?tcostdx(sint?tcost)dt2斜率k??dy?=2=?，x0?xt????2，y0?yt???2，

22dxt??1222??切线方程为y?2??法线斜率k??2(x??2?2)。

y?2?22?，法线方程为：

?(x??2?2)

222?dy?x?y?t?1例2.38． 已知y?y(x)由?确定，求。 tdx??xt?ye?1解：将方程中x,y分别看成为t的函数，分别对t求导得

dy?dx2x?2y?2t?0??dtdt ?

dxdy?t?x?et?ety?0?dt?dt解得：

dx?tet?xy?y2etdyt2?x2?xyet =，= ttdtdtxe?tyxe?tydydy/dtt2?x2?xyet所以 ==。

dxdx/dt?tet?xy?y2et四、导数应用

（a）斜率和几何应用 （b）洛必达法则求极限

（c）函数单调性,凹凸性,极值与拐点,渐近线 （d）最大值，最小值与实际应用 （e）微分中值定理的应用 （f）证明不等式

1．斜率与几何应用

函数y?y?x?在x?x0处导数y?(x)为切线斜率k，即k?y?(x),过点x0,f?x0?的切线方程为y?f(x0)=f?(xo)(x?x0)。法线方程为y?f(x0)=???1(x?x0)。 f?(xo)例2.39．y?xx，求过?1,1?的切线方程。

33x， k?y?(1)? 223切线方程为y?1=(x?1)。

2解：

y??例2.40．过点?0,0?引抛物线y=1?x2的切线，求切线方程。

2解：设切点为x0,1?x0，因y?=2x，

??yy?1?x2 k?y?(x0)?2x0，

切线方程为y=2x0x，

2因为x0,1?x0亦在切线上，所以

???x,1?x?020 1?x=2x0x0，x?1，x0??1，所以，切线方程为 y=±2x。 例2.41．问函数y=

2020x O x0 图示2.1

1x?0?哪一点 ?x0

上的切线与直线y=x成60角？

解：设切线斜率为k2?0，y=x，k1=1， tan?=

k1?k21?k2，3=

1?k1k21?k2 解得：k2=?2?3，y?=?11=，解得：=. ?2?3x2x2?32．洛必达法则

洛必达法则是导数对极限的应用，归结为求极限问题的题型六。它是求极限问题非常重要的一个题型。

洛必达法则：若limf(x)?0,limg(x)?0,且在a的邻域附近g(x),g(x)可导。如果

x?ax?a成立limx?af?(x)f(x)?A,则lim?A。

x?ag(x)g?(x)注：①洛必达法则处理的形式必须是未定式

0?,。对于0??,1?，???等必须变形为0?0?,形式。 0?②洛必达法则是一个充分性的法则，若limx?af?(x)不存在，则说明此方法失效。 g?(x)③洛必达法则只要前提正确，可重复使用。

④一般而言，洛必达法则和求极限题型五配合使用效果会更佳。 5注意其和连续，可导概念结合的综合题。 ○例2.42．limx?0x?sinx 2tanx?sinx12xx?sinx1?cosx12解：原式=lim ?lim?lim?x?0x?0x?03x2x33x2611) 例2.43．lim(?xe?1x?0xex?1?xex?1?xex?1x1解：原式=lim?lim?lim?lim?

x?0x(ex?1)x?0x?02xx?02xx22例2.44．limxlnx

x?0?2lnxx?1x2?lim?lim?0 解：原式?lim?2x?0?2x?3x?0?2x?0?x例2.45．limxe?x

x??2解：原式=limx??xx2e2xe11) 例2.46．lim(2?x?0xsin2x(sinx?x)(sinx?x)解：原式=lim 22x?0xsinxx???lim1x2?0

1?x2sinx?xsinx?xcosx?12??1 ?lim?2lim?2limx?0x?0x?03x2x3x3x2311) 例2.47．lim(2?2x?0xtanxtan2x?x2tan2x?x2?lim解：原式=lim2 x?0x?0xtan2xx4tanx?xtanx?xsec2x?12tan2x2lim?2lim?lim2? ?lim32x?0x?0x?0xx3x3x?0x3

例2.48．limx??x?sinx

x?sinx1?cosx?不存在

x??1?cosx解：由罗必塔法则，原式＝lim 这不说明原式不存在，仅说明洛必达法则对此题无效。

sinxx?1 原式= limx??sinx1?x1??xlnx)例2.49．lim(1?x?0cscx

1lnxx?lim(?x)?0 xlnx?lim?lim解： lim???x?0x?01x?0?1x?0?xx2xlnxcscx1?limlnx??x?0?xlnx?e?0 原式?lim?(1?xlnx)?x?0????x 例2.50．lim?x?0x解： 原式=limexlnx?ex?0?x?0limxlnx??e0?1

(xx-1)例2.51．lim

x?0?x(xx)?xlnxxlnx??lim(e)?lime(lnx?1)?? 解：原式=lim??x?0?x?0x?01?f(x),x?0?例2.52．设f(x)有二阶连续导数，且f(0)?0，g(x)??x。

??f?(0)?0,x?0证明：g(x)有一阶连续导数。 解：当x?0时，g?(x)?xf'(x)?g(x),g??x?在x?0处连续 2x

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