2013年全国各地中考数学试卷分类汇编：解直角三角形(8)

（1）15. （2）B船先到达

【思路分析】△ABP不是直角三角形，可过点P作PD⊥BC于点D，构造Rt△APD和Rt△PBD.然后分别解Rt△APD和Rt△PBD，即可求得答案. 【解】（1）如图，过点P作PD⊥BC于点D，

由题意，得∠PAB=90°-58°=32°，∠PBD=90°-35°=55°，AP=30，

sin?PAD?在Rt△ADP中，

PDAP，得PD=AP·sin∠PAD，即PD=30·sin32°≈15.9，

答：船P 到海岸线MN 的距离约为15.9海里。

sin?PBD?（2）在Rt△BDP中，

PDBP，PD=BP·sin∠PBD，即15.9≈PD·sin55°≈17.9，

3017.9?15，所以B船先到过P处。 因为20答：B船先到达船P 处.

【方法指导】解决解直角三角形的实际问题，有图的要先将题干中的已知量在图中表示出来，再根据以下方法和步骤解决：?根据题目中的已知条件，将实际问题抽象为解直角三角形的数学问题，画出平面几何图形，弄清已知条件中各量之间的关系；?若三角形是直角三角形，根据边角关系进行计算，若三角形不是直角三角形，可通过添加辅助线构造直角三角形来解决.解直角三角形的实际应用问题关键是要根据实际情况建立数学模型，正确画出图形找准三角形.

28．（2013山东菏泽，17，10分） 如图，BC是⊙O的直径， A是⊙O上一点，过点C作

⊙O的切线，交BA的延长线于点D，取CD的中点E,AE的延长线与BC的延长线交于点P.

（1）求证：AP是⊙O的切线； （2）若OC=CP，AB=6，求CD的长.

【思路分析】（1）连接OA，证OA⊥PA即可； （2）转化为直角三角形中，根据锐角三角函数 边角关系求解.

【解】（1）证明：连接AO，AC. ∵BC是⊙O的直径

∴∠BAC=90°∴∠CAD=90° ∵点E是CD的中点

∴CE= CE= AE????????2分 在等腰△EAC中，∠ECA= ∠EAC ∵OA=OC ∴∠OAC= ∠OCA ∵CD是⊙O的切线 ∴CD⊥OC

∴∠ECA + ∠OAC = 90° ∴∠EAC + ∠OAC = 90° ∴OA⊥AP

∴AP是⊙O的切线????????5分

（2）由（1）知OA⊥AP

在Rt△OAP中，∵∠OAP = 90°, OC= CP= OA即OP= 2OA， ∴sin?P?（第18题）

B

O C P A E D OA1? OP2∴?P?30?,∴?AOP?60?????????7分 ∴AC?AB?23 ?tan60又∵在Rt△DAC中，∠CAD = 90°, ∠ACD = 90°-∠ACO= 30° ∴CD?AC23??4????????10分 ?cos?ACDcos30【方法指导】本题考查了圆的切线性质、判定，与圆有关的基本性质，直角三角形相关知识等.在运用切线的性质时，若已知切点，连接切点和圆心，得垂直；若不知切点，则过圆心

向切线作垂直，即“知切点连半径，无切点作垂直”．

29．（2013广东湛江，21，8分）如图，我国渔政船在钓鱼岛海域C处测得钓鱼岛A在渔政

船的北偏西30°的方向上，随后渔政船以80海里/小时的速度向北偏东30°的方向航行，半小时后到达B处，此时又测得钓鱼岛A在渔政船的北偏西60°的方向上，求此时渔政船距钓鱼岛A的距离AB．

(结果保留小数点后一位，其中3≈1．732)

AE60°北D30°30°BC

【思路分析】由方位角，可算得∠ABC=90°,然后解直角三角形就可求理AB长 【解】由于CD∥BE

所以∠EBC+∠DCB=180° 因为∠AEB=60°，∠DCB=30°， 所以∠ABC=90° 在直角△ABC中 BC=80?1=40 2由直角三角形三边关系得：AB=BC?tan60?＝403≈69.3（海里） 答：AB的长约为69.3海里

【方法指导】解决解直角三角形的实际问题，有图的要先将题干中的已知量在图中表示出来，再根据以下方法和步骤解决：?根据题目中的已知条件，将实际问题抽象为解直角三角形的数学问题，画出平面几何图形，弄清已知条件中各量之间的关系；?若三角形是直角三角形，根据边角关系进行计算，若三角形不是直角三角形，可通过添加辅助线构造直角三角形来解决.解直角三角形的实际应用问题关键是要根据实际情况建立数学模型，正确画出图形找准三角形.

40．1．(2013湖北荆门，21，10分)A，B两市相距150千米，分别从A，B处测得国家级

风景区中心C处的方位角如图所示，风景区区域是以C为圆心，45千米为半径的圆，tanα

＝1.627，tanβ＝1.373．为了开发旅游，有关部分设计修建连接A，B两市的高速公路．问连接AB高速公路是否穿过风景区，请说明理由． 北 α A

(第21题)

C

北 北 β α D 图4

C

北 β B

B A

【思路分析】求出点C到AB的距离，并将这个距离与半径45千米进行比较，根据两者之间的大小关系即可判断高速公路是否穿过风景区． 【解】AB不穿过风景区． 如图4，过C作CD⊥AB于D， ∴AD＝CD·tanα；BD＝CD·tanβ．

由AD＋BD＝AB，得CD·tanα＋CD·tanβ＝AB． ∴CD＝

150150＝50(千米)． AB＝＝

tan??tan?1.627?1.3733∵CD＝50＞45，∴高速公路AB不穿过风景区．

【方法指导】三角函数即是直角三角形中的边与角之间的一种关系，因此在用三角函数解决实际问题时，关键是找出相关的直角三角形．这类问题通常可转化为两个直角三角形，这两个直角三角形中的一条直角边公共，另一条直角边在同一直线上．解题时注意方程思想的运用．

31、（2013深圳，21，8分）如图5所示，一测量小组发现8米高的旗杆DE的影子EF落在了包含一圆弧型小桥在内的路上，于是他们开展了测算小桥所在圆的半径的活动。小刚身

?高1.6米，测得其影长为2.4米，同时测得EG的长为3米，测得拱高（GHFH的长为1实，

的中点到弦GH的距离，即MN的长）为2米，求小桥所在圆的半径。

【答案】延长NM，交线段NH的垂直平分线于点O，则点O为小桥所在圆的圆心，连接

OH，则OH、ON均为小桥所在圆的半径

因为太阳光线是平行光线，故同一时刻，旗杆DE与其影长EF的比等于小刚身高与其影长的比 即：

DE1.6，由于DE=8，故EF?12，则GH?12?1?3?8 ?EF2.4 设小桥所在圆的半径为R，则OM?R?2,MH?4

由：OH2?MH2?OM2，有：R?4?(R?2) 因而 R?5

222DDNNEGM图5

EHFGMHFO

【解析】要求小桥所在圆的半径，需先求出弦GH的长，然后利用垂径定理及勾股定理求

半径。要求GH，需先求出EF，根据同一时刻“小刚身高1.6米，测得其影长为2.4米”，则8米高的旗杆DE在同一时刻的影子EF也可求出。

【方法指导】本题主要考查了相似三角形的性质、垂径定理的应用、勾股定理及方程思想。问题背景公平，与课本联系紧密，并且很好的体现了数学的应用思想。

32. （2013江苏泰州，22，10分）如图，为了测量山顶铁塔AE的高，小明在27 m高的楼CD底部D测得塔顶A的仰角为45°，在楼顶C测得塔顶A的仰角为36°52'.已知山高BE为56 m,楼的底部D与山脚在同一水平面上，求该铁塔的的高AE. (参考数据：sin 36°52'≈0.60，tan36°52'≈0.75)

【思路分析】通过构造直角三角形ADB、Rt△ACF，运用锐角 三角函数边角关系求出AB、BF.即可. 【解】设该铁塔的的高AE= x m

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