2013年全国各地中考数学试卷分类汇编：解直角三角形(5)

在Rt△BCD中，

∵BD=4.445，∠DCB=11°，∴∴CD=

=tan11°，

=23.394，∴AC=AD＋CD=3.245＋23.394≈26.64（km），

则时间t=26.64÷30≈0.90（h）． 答：需要0.90h到达．

点评：本题考查了解直角三角形的应用，难度适中，解答本题的关键是构造直角三角形并解直角三角形．

13．（2013·潍坊，23，13分）为了改善市民的生活环境，我是在某河滨空地处修建一个如图所示的休闲文化广场．在Rt△ABC内修建矩形水池DEFG，使顶点D、E在斜边AB上，F、G分别在直角边BC、AC上；又分别以AB、BC、AC为直径作半圆，它们交出两弯新月（图中阴影部分），两弯新月部分栽植花草；其余空地铺设地砖．其中AB?243米，

?BAC?60?．设EF?x米，DE?y米．

（1）求y与x之间的函数解析式；

（2）当x为何值时，矩形DEFG的面积最大？最大面积是多少？

（3）求两弯新月（图中阴影部分）的面积，并求当x为何值时，矩形DEFG的面积等于两

弯新月面积的

1？ 3答案：（1）在Rt△ABC中，由题意得AC＝123米，BC＝36米，∠ABC＝30°， 所以AD?DGx3EF??x,BE??3x,

tan60?3tan30?3又AD＋DE＋BE＝AB， 所以y?243?34． x?3x?243?3x,（0＜x＜8）

33(2)矩形DEFG的面积

S?xy?x(243?4443x)??3x2?243x??3(x?9)2?1083. 333所以当x＝9时，矩形DEFG的面积最大，最大面积为1083平方米．

（3）记AC为直径的半圆\\、BC为直径的半圆、AB为直径的半圆面积分别为S1、S2、S3，两弯新月面积为S，则S1?111?AC2,S2??BC2,S3??AB2, 888由AC2＋BC2＝AB2可知S1＋S2＝S3，∴S1＋S2－S＝S3－S△ABC ，故S＝S△ABC

1?123?36?2163(平方米) 2412由? 即(x?9)?27，解得x?9?33，符合题意， 3(x?9)?1083??2163，

331所以当x?9?33米时，矩形DEFG的面积等于两弯新月面积的．

3所以两弯新月的面积S＝

考点：考查了解直角三角形，二次函数最值求法以及一元二次方程的解法。

点评：本题是二次函数的实际问题。解题的关键是对于实际问题能够灵活地构建恰当的数学模型，并综合应用其相关性质加以解答．

14. （2013?绍兴10分）如图，伞不论张开还是收紧，伞柄AP始终平分同一平面内两条伞

架所成的角∠BAC，当伞收紧时，结点D与点M重合，且点A、E、D在同一条直线上，已知部分伞架的长度如下：单位：cm 伞架 长度 DE 36 DF 36 AE 36 AF 36 AB 86 AC 86 （1）求AM的长．

（2）当∠BAC=104°时，求AD的长（精确到1cm）． 备用数据：sin52°=0.788，cos52°=0.6157，tan52°=1.2799．

【思路分析】（1）根据AM=AE+DE求解即可；

（2）先根据角平分线的定义得出∠EAD=∠BAC=52°，再过点E作EG⊥AD于G，由等腰三角形的性质得出AD=2AG，然后在△AEG中，利用余弦函数的定义求出AG的长，进而得到AD的长度．

【解析】1）由题意，得AM=AE+DE=36+36=72（cm）． 故AM的长为72cm；

（2）∵AP平分∠BAC，∠BAC=104°， ∴∠EAD=∠BAC=52°． 过点E作EG⊥AD于G， ∵AE=DE=36， ∴AG=DG，AD=2AG． 在△AEG中，∵∠AGE=90°，

∴AG=AE?cos∠EAG=36?cos52°=36×0.6157=22.1652， ∴AD=2AG=2×22.1652≈44（cm）． 故AD的长约为44cm．

【方法指导】本题考查了解直角三角形在实际生活中的应用，其中涉及到角平分线的定义，等腰三角形的性质，三角函数的定义，难度适中．

15．（2013上海市，22，10分）某地下车库出口处“两段式栏杆”如图7-1所示，点

A是栏杆转动的支点，点E是栏杆两段的连接点．当车辆经过时，栏杆AEF升起后的位置

如图7-2所示，其示意图如图7-3所示，其中AB⊥BC，

EF∥BC，?EAB?1430，AB?AE?1.2米，求当车辆经过时，栏杆EF段距离地面的

高度（即直线EF上任意一点到直线BC的距离）．

（结果精确到0.1米，栏杆宽度忽略不计参考数据：sin 37° ≈ 0.60，cos 37° ≈ 0.80，tan 37° ≈ 0.75．）

E

A

图7-1

图7-2

E

F

A

F

A B

C

E

F

图7-3

16.（2013上海市，24，12分）如图9，在平面直角坐标系xoy中，顶点为M的抛物线y?ax?bx(a?0）经过点A和x轴正半轴上的点B，AO?OB= 2，?AOB?1200． （1）求这条抛物线的表达式； （2）联结OM，求?AOM的大小；

（3）如果点C在x轴上，且△ABC与△AOM相似，求点C的坐标．

2

17.（2013四川内江，20，10分）如图，某校综合实践活动小组的同学欲测量公园内一棵树DE的高度，他们在这棵树的正前方一座楼亭前的台阶上A点处测得树顶端D的仰角为30°，朝着这棵树的方向走到台阶下的点C处，测得树顶端D的仰角为60°．已知A点的高度AB为3米，台阶AC的坡度为1：

（即AB：BC=1：

），且B、C、E三点在同一条直线

上．请根据以上条件求出树DE的高度（侧倾器的高度忽略不计）．

考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题． 分析：过点A作AF⊥DE于F， 可得四边形ABEF为矩形，设DE=x，在Rt△DCE和Rt△ABC中分别表示出CE，BC的长度，求出DF的长度，然后在Rt△ADF中表示出AF的长度，根据AF=BE，代入解方程求出x的值即可． 解答：解：如图，过点A作AF⊥DE于F， 则四边形ABEF为矩形， ∴AF=BE，EF=AB=3， 设DE=x， 在Rt△CDE中，CE=在Rt△ABC中， ∵=，AB=3， ， =x， ∴BC=3在Rt△AFD中，DF=DE﹣EF=x﹣3， ∴AF==（x﹣3），

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