数学家教：高三数学三角函数一轮复习1(5)

∴f (x)为奇函数. (3) f (x)＝

2sinx2cosx?sinxcosx又x∈[－π，π]且x≠－,x?2??2

y ???tanx(??x?)?22∴f(x)＝? ???tanx(???x???或??x??)?22?-π 2?? 0 f (x)的图象如右：

(4) 由图知，f(x)的最小正周期为2π． f (x)的单调递增区间是(??2?2k?,?2 π x ?2?2k?)(k∈z)

变式训练2：求下列函数的定义域： （1）y=lgsin(cosx);（2）y=sinx?cosx.

解 （1）要使函数有意义，必须使sin(cosx)＞0.∵-1≤cosx≤1,∴0＜cosx≤1. 方法一 利用余弦函数的简图得知定义域为{x|-??+2k?＜x＜+2k?,k∈Z}. 22方法二 利用单位圆中的余弦线OM，依题意知0＜OM≤1,

∴OM只能在x轴的正半轴上， ∴其定义域为??x|??2k??x??2????2k?,k?Z?. 2?（2）要使函数有意义，必须使sinx-cosx≥0.

方法一 利用图象.在同一坐标系中画出［0,2?］上y=sinx和y=cosx的图象，如图所示.

在［0，2?］内，满足sinx=cosx的x为所以定义域为??x|??5?，，再结合正弦、余弦函数的周期是2?, 44?4?2k??x?5???2k?,k?Z?. 4?方法二 利用三角函数线，如图MN为正弦线，OM为余弦线， 要使sinx≥cosx,即MN≥OM，则∴定义域为??x|??5?≤x≤（在［0，2?］内）. 44?4?2k??x?5???2k?,k?Z?. 4?方法三 sinx-cosx=2sin(x?)≥0，将x-4??视为一个整体，由正弦函数y=sinx的图象和性质 4可知2k?≤x-

??5??5??≤?+2k?,解得2k?+≤x≤+2k?,k∈Z.，定义域??2k?,k?Ζ?. ?x|2kx??x?44444??例3设函数f(x)?sinax?3cosax(0?a?1)，g(x)?tan(mx?)(0?m?1)，已知f(x)、g(x)的最小

6?正周期相同，且2(g)＝f(1)；

（1）试确定f(x)、g(x)的解的式；（2）求函数f(x)的单调递增区间．

x?解：(1)当a＝1时，f(x)＝2cos2＋sinx＋b＝2sin(x?)?b?1

42

∴递增区间为[2kπ－

3??,2k??44](k∈z)

2asin(x?(2)∵f (x)＝a(sinx＋cosx)＋a＋b＝

?∴sin(x＋

4?4)?a?b而x∈[0，π]，x＋

?4∈[

?5?,44]

?2a?a?b?3?2)∈[?,1]∴?22?2a(?)?a?b?42??a?1?2 ∴? ???b?4变式训练3：已知函数f (x)＝log1(sinx－cosx)

2⑴ 求它的定义域和值域；⑵ 求它的单调区间；⑶ 判断它的奇偶性；

⑷ 判定它的周期性，如果是周期函数，求出它的最小正周期． 解：(1) 由题意得：sinx－cosx＞0即函数的定义域为(2k?＋?4，2k?＋5?42sin(x－

?4)＞０从而得2kπ＋

?4?4＜x＜2kπ＋π

254)(k∈z)∵0＜sin(x－

12)≤1 ∴0＜sinx－cosx≤

12

即log 1(sinx－cosx)≥log 1222＝－故函数f (x)的值域为[－，＋∞]

?43?4(2) ∵sinx－cosx＝

2sin(x－

?4，2k?＋)在f(x)的定义域上的单调递增区间为(2k?＋](k∈z)

3?5?，2k?＋44)(k∈z)，

单调递减区间为[2k?＋(3) ∵f(x)的定义域在数轴上对应的点关于原点不对称．∴f(x)是非奇非偶函数． (4) ∵f(x＋2π)＝log 1[sin(x＋2π)－cos(x＋2π)]＝log 1 (sinx－cosx)＝f(x)

22∴f (x)函数的最小正周期T＝2π

例4.已知函数y＝acosx＋b的最大值为1，最小值是－3，试确定f(x)＝b sin(ax＋区间．

解：(1)若a＞0，则a＋b＝1，－a＋b＝－3，∴ a＝2，b＝－1，此时，f(x)＝－sin(2x＋单调增区间为[kπ＋

?7?5??，kπ＋] (k∈z)单调减区间为[kπ－，kπ＋] (k∈z)

12121212?5?5?11?，kπ＋] (k∈z)单调减区间为[kπ＋，kπ＋] (k∈z)

12121212?) 3?)的单调3(2) 若a＜0，则－a＋b＝1，a＋b＝－3，∴ a＝－2，b＝－1， 单调增区间为[kπ－

第9课时 三角函数的最值

1．一元二次函数与一元二次方程

一元二次函数与一元二次方程（以后还将学习一元二次不等式）的关系一直是高中数学函数这部分内容中的重点，也是高考必考的知识点．我们要弄清楚它们之间的对应关系：一元二次函数的图象与x轴的交点的横坐标是对应一元二次方程的解；反之，一元二次方程的解也是对应的一元二次函数的图象与x轴的交点的横坐标． 2．函数与方程

两个函数y?f(x)与y?g(x)图象交点的横坐标就是方程f(x)?g(x)的解；反之，要求方程f(x)?g(x)的解，也只要求函数y?f(x)与y?g(x)图象交点的横坐标． 3．二分法求方程的近似解

二分法求方程的近似解，首先要找到方程的根所在的区间(m,n)，则必有f(m)?f(n)?0，再取区间的中点p?m?n，再判断f(p)?f(m)的正负号，若f(p)?f(m)?0，则根在区2间(m,p)中；若f(p)?f(m)?0，则根在(p,n)中；若f(p)?0，则p即为方程的根．按照以上方法重复进行下去，直到区间的两个端点的近似值相同（且都符合精确度要求），即可得一个近似值． 典型例题

例1. 求下列函数的最值． ⑴ y＝

1?sinxsin2x?sinx?；⑵ y＝2 cos(＋x)＋2cosx；⑶ y?．

1?cosx33?cosx2sinx?cosx?sinx?2cos2x?2cosx1?cosx解：(1) y＝＝2(cosx?121)?22∴ 当cosx＝?时，ymin=?

1212∵ cosx≠1∴ 函数y没有最大值。 (2) y＝2cos(∴当cos(x?(3) 由y??3?x)+2cosx=2cos

?cosx?2sinsinx?2cosx=3cosx－3sinx=23cos(x?) 3363???6)＝－1时，ymin＝－2当cos(x??6)＝1时，ymax＝23

1?sinx得sinx－ycosx＝3y－1∴y2?1sin(x??)＝3y－1 (tan?＝－y)

3?cosx341?sinx3的值域为[0，]

3?cosx4∵|sin(x＋?)|≤1 ∴|3y－1|≤y2?1解得0≤y≤ 故y?注：此题也可用其几何意义在求值域．

变式训练1：求下列函数的值域： （1）y=

sin2xsinx?;（2）y=sinx+cosx+sinxcosx;（3）y=2cos(?x)+2cosx.

1?cosx32sinxcosxsinx2cosx(1?cos2x)11解 （1）y===2cos2x+2cosx=2(cosx?)2-.

1?cosx21?cosx2于是当且仅当cosx=1时取得ymax=4,但cosx≠1,

?∴y＜4，且ymin=-,当且仅当cosx=-时取得.故函数值域为???,4?.

?12121?2t2?1t2?11（2）令t=sinx+cosx,则有t=1+2sinxcosx,即sinxcosx=.有y=f(t)=t+=(t?1)2?1.

2222

又t=sinx+cosx=2sin(x?)，∴-2≤t≤2.故y=f(t)=

4?1(t?1)2?1(-2≤t≤2), 2?2?1?1从而知：f(-1)≤y≤f(2),即-1≤y≤2+.即函数的值域为??1,2???.

2（3）y=2cos(?x)+2cosx=2cos

3??3?1??cosx-2sinsinx+2cosx=3cosx-3sinx=23?cosx?sinx?

?2?233??=23cos(x?).∵cos(x?)≤1∴该函数值域为［-23，23］.

66??例2. 试求函数y＝sinx＋cosx＋2sinxcosx＋2的最大值与最小值，又若x?[0,]呢？

2?解： 令t＝sinx＋cosx 则t∈[－2，2]又2sinx＋cosx＝(sinx＋cosx)2－1＝t2－1 ∴y＝t2＋t＋1＝(t＋)2＋，显然ymax＝3＋2若x∈[0，y＝(t＋)＋在[1，2]单调递增．当t＝1即x＝0或x＝当t＝2即x＝

?时，y取最大值3＋2． 412341234?] 则t∈[1，2] 2?时，y取最小值3． 2??3??x???,?的最大值和最小值． ?44?点拔：三角函数求最值一般利用三角变形求解，此题用常规方法非常困难，而用导数求最值

变式训练2：求函数f(x)?x?cosx(sinx?cosx)既方便又简单．

解：f(x)＝x－(sin2x＋cos2x)－∴f′(x)＝1＋2sin(2x－∵x∈[－

1212?) 42?3??3?5?，] ∴2x－∈[－，?]令f′(x)＝0 得sin(2x－)＝－

2444444∴x＝0，－

34?3??33?，?∵f(0)＝－1，而f(－)＝－ f(?)＝ 4444443?当x＝0时，[f(x)]min＝－1 4∴当x＝?时，[f(x)]max＝

1例3. 已知sinx＋siny＝3，求siny－cos2x的最大值．

解：∵sinx＋siny＝ ∴siny＝＝(sinx?)2?12131?sinx3∴siny－cos2x＝?sinx－(1－sin2x)＝??sinx?sin2x

13231112又∵－1≤siny≤1 ∴?1??sinx?1 而－1≤sinx≤1∴?≤sinx≤1

331249∴当sinx＝?时，siny－cos2x取得最大值。

变式训练3：在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若b2＝ac，求y＝的取值范围． 解：y＝(sinB?cosB)sinB?cosB2231?sin2BsinB?cosB?sinB?cosB?2sin(B??4)又

cosB＝a2?c2?b2a2?c2?ac?2ac2ac≥

12∴ 0＜B≤

7????? ∴＜B＋≤∴ 1＜2sin(B＋)≤2即1＜y≤2

444123例4．设a≥0，若y＝cos2x－asinx＋b的最大值为0，最小值为－4，试求a与b的值，并求出

使y取得最大、最小值时的x值． 解：原函数变形为y＝－(sinx?)?1?b?2a22a2a∵－1≤sinx≤1，a≥0∴若0≤a≤2，当sinx＝－时

242ymax＝1＋b＋a＝0 ①当sinx＝1时，ymin＝－(1?a)2?1?b?a＝－a＋b＝－4 ②

424联立①②式解得a＝2，b＝-2，y取得最大、小值时的x值分别为： x＝2kπ－

?2(k∈Z)，x＝2kπ＋

a2?2(k∈Z)，若a＞2时，∈(1，＋∞)

a2∴ymax＝－(1?)2?1?b?a2?a?b＝0 ③ 4a2a2ymin＝－(1?)?1?b???a?b??4 ④

24由③④得a＝2时，而＝1 (1，＋∞)舍去.。故只有一组解a＝2，b＝－2.

变式训练4：设函数f(x)?3cos2?x?sin?xcos?x?a（其中ω>0，a∈R），且f(x)的图象在y轴右侧的第一个最高点的横坐标为

?． 6a2（1）求ω的值；（2）如果f(x)在区间[?,3?5x6]的最小值为3，求a的值．

解：(1) f(x)＝

3331?cos?x＋sin2?x＋＋a＝sin(2?x＋)＋＋a 22232依题意得2?·＋

?6??1＝解得?＝ 3223?5?????7??)＋＋a，又当x∈?时，x＋∈?,?36??0,6? 233????(2) 由(1)知f(x)＝sin(2?x＋故－≤sin(x＋

123?5???1)≤1。从而f(x)在?上取得最小值－＋＋a ?,??232?36?因此，由题设知－＋

1233?1＋a＝3故a＝ 22

三角函数章节测试题

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