数学家教：高三数学三角函数一轮复习1(3)

③ 尽可能不含根式；

④ 次数尽可能低、尽可能求出值．

2．常用的基本变换方法有：异角化同角、异名化同名、异次化同次． 3．求值问题的基本类型及方法

① “给角求值”一般所给的角都是非特殊角，解题时应该仔细观察非特殊角与特殊角之间的关系，通常是将非特殊角转化为特殊角或相互抵消等方法进行求解．

② “给值求值”即给出某些角的三角函数（式）的值，求另外的一些角的三角函数值，解题关键在于：变角，使其角相同；

③ “给值求角”关键也是：变角，把所求的角用含已知角的式子表示，由所求得的函数值结合该函数的单调区间求得角． 典型例题 例1. （1）化简：

cos40??sin50?(1?3tan10?)sin70?1?cos40? （2）化简：

1?sin6x?cos6x

1?sin4x?cos4x解：∵1?3tan10??cos10??3sin10?cos10?＝

2cos(60??10?)cos10??2cos50?cos10?

∴原式?cos40??2sin50?cos50?cos40??12cos220?cos10???sin70??2cos20?2cos220?2cos220?=2

变式训练1：已知f(x)?21?x?，若??(,?)，则f( cos?)? f(?cos?)可化简为 。1?x2sin?例2. 已知6sin2??sin?cos??2cos2??0，α∈[

??，?]，求sin（2α＋）的值． 23解法一：由已知得(3sinα＋2cosα) (2sinα－cosα)＝0?3sinα＋2cosα＝0或2sinα－cosα＝０ 由已知条件可知cosα≠0 ∴α≠?即α∈(?,π)∴tanα＝－

2223sin(2α＋?)＝sin2αcos

3?＋cos2αsin?＝sinαcosα＋3(cos2α－sin2α)

323＝

sin?cos?cos2??sin2??3cos2??sin2??2cos2??sin2?＝

tan?1?tan2?2?31?tan2??21?tan2?＝?653?1326

解法二：由已知条件可知cosα≠0 则α≠?从而条件可化为 6 tan2α＋tanα－2＝0 ∵α∈(?,π) 解得tanα＝－2(下同解法一)

23变式训练2：在△ABC中，sinA?cosA?解：∵sinA＋cosA＝

222，AC?2，AB?3，求tanA的值和△ABC的面积． 222 ①∵2sinAcosA＝－1从而cosA＜0 A∈(?,?)

62∴sinA－cosA＝(sinA?cosA)2?4sinAcosA＝据①②可得 sinA＝S△ABC＝3(6?2)46?24 ②

cosA＝

?6?2∴tanA＝－2－3 4

例3. 已知tan(α－β)＝

11，tanβ＝-，且α、β∈（0，?），求2α－β的值. 272解：由tanβ＝－1 β∈(0，π)得β∈(?, π) ①

7由tanα＝tan[(α－β)＋β]＝1 α∈(0，π)得0＜α＜? ∴ 0＜2α＜π

32由tan2α＝3＞0 ∴知0＜2α＜? ②∵tan(2α－β)＝

42tan2??tan?1?tan2?tan?＝1

由①②知 2α－β∈(－π，0)∴2α－β＝－

3?(或利用2α－β＝2(α－β)＋β求解) 4?sin(??)154变式训练3：已知α为第二象限角，且sinα＝，求的值． sin2??cos2??14)44?sin2??cos2??12cos?(sin??cos?)sin(???解：由sinα＝＝

122cos?154 α为第二象限角∴cosα＝－∴

14)sin(???

＝－

2例4．已知

3?10????,tan??cot???． 435sin2?2（1）求tanα的值；（2）求

?8sin?2cos?2?11cos2?2?82sin(???2的值．

)解：（1）由tan??cot???又

101得3tan22?10tan??3?0 解得tanα＝－3或tan???

333?1????，所以tan???为所求．

345?1?cos?1?cos??4sin??11??85?5cos??8sin??11?11cos??1622??22cos??2cos?（2）原式：?8sin?66cos??22cos?

??8tan??6?22??52 6?2sin2??sin2??变式训练4：已知，试用k表示sin?－cos?的值． ?k（<α<）

41?tan?2解：∵

22sin2??sin2??2sin?cos?∴k＝2sinαcosα∵(sinα－cosα)＝1－k

1?tan?又∵α∈(,

??) ∴sinα－cosα＝1?k 42第6课时 三角函数的恒等变形

一、三角恒等式的证明 基础过关 1．三角恒等式的证明实质是通过恒等变形，消除三角恒等式两端结构上的差异（如角的差异、函数名称的差异等）．

2．证三角恒等式的基本思路是“消去差异，促成同一”，即通过观察、分析，找出等式两边在角、名称、结构上的差异，再选用适当的公式，消去差异，促进同一．

3．证明三角恒等式的基本方法有：⑴ 化繁为简；⑵ 左右归一；⑶ 变更问题． 二、三角条件等式的证明 1．三角条件等式的证明就是逐步将条件等价转化为结论等式的过程，须注意转化过程确保充分性成立． 2．三角条件等式的证明，关键在于仔细地找出所附加的条件和所要证明的结论之间的内在联系，其常用的方法有：

⑴ 代入法：就是将结论变形后将条件代入，从而转化为恒等式的证明． ⑵ 综合法：从条件出发逐步变形推出结论的方法．

⑶ 消去法：当已知条件中含有某些参数，而结论中不含这些参数，通过消去条件中这些参数达到证明等式的方法．

⑷ 分析法：从结论出发，逐步追溯到条件的证明方法，常在难于找到证题途径时用之． 典型例题 例1．求证：1?cos??cos2＝

sin??sin??sin?

1?cos???2证明：左边＝

2cos2?2?cos?22sincos?sin222????cos(1?2cos)22sin(1?2cos)22cos???＝

2?cot??sin??21?cos?sin2＝右边

变式训练1：求证：tan(α＋证明：∵(α＋

?4??)＋tan(α－)＝2tan2α 44?4)＋(α－

?4)＝2α∴tan[(α＋)＋(α－

?4)]＝tan2α∴

tan(???4)?tan(???4)?tan2?)

1?tan(????)?tan(??)∴44?tan2?∴tan(α＋4)＋tan(α－4)＝2tan2α

??1?tan(??)?cot(??)44?4)?tan(???4tan(????tan5??tan3??4(tan5??tan3?) 例2．求证：

cos2?cos4?sin5?sin3??sinsin8?8?44sin?2????coscos44?sin22???coscos2?cos5?cos3???证明：左边＝＝cos5??cos3??cos2??cos4?＝ 55?cos22???coscos4?cos5??cos3??cos2??cos4?coscos???coscos33??cos?4?cos2??cos4?4sin2?sin5?＝右边＝4(

cos5?cos5??cos3?∴左边＝右边 即等式成立

sin5??cos3??cos5??sin3?sin3?4sin2??)＝4·＝ cos5??cos3?cos3?cos5??cos3?变式训练2：已知2tanA＝3tanB，求证：tan(A－B)＝

sin2B．

5?cos2B3证明：tan(A－B)＝tanA?tanB?2tanB?tanB31?tanA?tanB1?tan2B2＝

sinBtanBsinBcosBcosB??222?3tanB3sinB2cos2B?3sin2B2?cos2B

＝

2sinB?cosB4cos2B?6sin2B4?2sin2B例3．如图所示，D是直线三角形△ABC斜边上BC上一点，AB＝AD，记∠CAD=α，∠ABC=β．

?sin2B?sin2B

5?cos2B（1）证明：sinα＋cos2β=0；（2）若AC?3DC，求β的值． 解：（1）∵???2??BAD?A ?2?(2??2?)?2???2

B D

C

∴sin??sin(2???2)??cos2?即sinα＋cos2β＝0

DCACDC3DC??．即 ∴sin??3sin? sin?sin(???)nsi?nsi?（2）在△ADC中，由正弦定理得

由（1）sinα＝－cos2β∴sin???3cos2???3(1?2sin2?)即23sin2??sin??3?0 解得sin??3333?或sin???，因为0???，所以sin??从而?? 22222变式训练3.已知?,??(0,)且sinβ·cosα＝cos(α＋β)．

2?（1）求证：tan??sin2cos?；（2）用tanβ表示tanα．

1?sin2?sin??cos?cos??sin?sin? sin?解：（1）∵sin??cos??cos(???)∴∴sin???sin?cos?cos??sin2?sin?∴tan??sin?cos 21?sin?sin?cos?sin2??cos2??sin2?2

（2）tan???tan?1?2tan2?

CA32

例4.在△ABC中，若sinA·cos2＋sinC·cos2＝2sinB，求证：sinA＋sinC＝2 sinB．

证明：∵sinA·cos2

C2＋sinC·cos2

A2＝sinB∴sinA·321?cosC2＋sinC·1?cosA2＝sinB

32∴sinA＋sinC＋sinA·cosC＋cosＡ·sinC＝3sinB∴sinA＋sinC＋sin(A＋C)＝3sinB ∵sin(A＋C)＝sinB ∴sinA＋sinC＝2sinB

变式训练4：已知sinθ＋cosθ＝2sinα，sinθ·cosθ＝sin2β，求证：2cos2α＝cos2β． 证明：(sinθ＋cosθ)2＝1＋2sinθ·cosθ＝4sin2α将sinθ·cosθ＝sin2β代入得1＋2sin2β＝4sin2α ∴1＋1－cos2β＝2(1－cos2α)∴2cos2α＝cos2β

第7课时 三角函数的图象与性质

基础过关 1．用“五点法”作正弦、余弦函数的图象．

“五点法”作图实质上是选取函数的一个 ，将其四等分，分别找到图象的 点，

点及“平衡点”．由这五个点大致确定函数的位置与形状． 2．y＝sinx，y＝cosx，y＝tanx的图象． 函数 y＝sinx y＝cosx y＝tanx 图象 注：⑴ 正弦函数的对称中心为 ，对称轴为 ． ⑵ 余弦函数的对称中心为 ，对称轴为 ． ⑶ 正切函数的对称中心为 ．

3．“五点法”作y＝Asin(ωx＋?)(ω>0)的图象．

令x'＝ωx＋?转化为y＝sinx'，作图象用五点法，通过列表、描点后作图象． ４．函数y＝Asin(ωx＋?)的图象与函数y＝sinx的图象关系．

振幅变换：y＝Asinx(A>0，A≠1)的图象，可以看做是y＝sinx的图象上所有点的纵坐标都 ，(A>1)或 (00，ω≠1)的图象，可以看做是把y＝sinx的图象上各点的横坐标 (ω>1)或 (0<ω<1)到原来的 倍(纵坐标不变)而得到的．由于y＝sinx周期为2π，故y＝sinωx(ω>0)的周期为 ． 相位变换：y＝sin(x＋?)(?≠0)的图象，可以看做是把y＝sinx的图象上各点向 (?>0)或向 (?<0)平移 个单位而得到的．

由y＝sinx的图象得到y＝Asin(ωx＋?)的图象主要有下列两种方法：

振幅 周期 相位 y＝sinx 变换 变换 变换 或

振幅 相位 周期

y＝sinx 变换 变换 变换

说明：前一种方法第一步相位变换是向左(?>0)或向右(?<0)平移 个单位．后一种方法第二步相位变换是向左(?>0)或向右(?<0)平移 个单位． 例1.已知函数y＝Asin(ωx＋?)(A>0，ω>0) ⑴ 若A＝3，ω＝，?＝－

12?，作出函数在一个周期内的简图． 32⑵ 若y表示一个振动量，其振动频率是解：(1) y＝3sin(

x??23x??23?，当x＝

?24时，相位是

y 3 2 1 ?，求ω和?． 3)列表(略)图象如下：

π 3?2 0 2?3?2 2π 14?3x y 5?38?3 11?3 0 3 0 －3 0 x

-1 0 2?5?8?11?14?-2 33 3 3 3 -3

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