数学辅导--------《三角函数》
知识网络 三 角 函 数
角的概念的推广、弧度制 任意角的三角函数的定义 任意角的三角函数 两角和与差的正弦、余弦、正切 两角和与差的三角函数 y＝sinx, y＝cosx的图象和性质 三角函数的图象和性质 y＝tanx的图象和性质 y＝Asin(?x＋?)的图象 已知三角函数值求角 二倍角的正弦、余弦、正切 同角三角函数基本关系 诱导公式 基础过关 一、角的概念的推广
1．与角?终边相同的角的集合为 ．
2．与角?终边互为反向延长线的角的集合为 ． 3．轴线角（终边在坐标轴上的角）
终边在x轴上的角的集合为 ，终边在y轴上的角的集合为 ，终边在坐标轴上的角的集合为 ．
4．象限角是指： ． 5．区间角是指： ．
6．弧度制的意义：圆周上弧长等于半径长的弧所对的圆心角的大小为1弧度的角，它将任意角的集合与实数集合之间建立了一一对应关系． 7．弧度与角度互化：180o＝ 弧度，1o＝ 弧度，1弧度＝ ? o． 8．弧长公式：l ＝ ； 扇形面积公式：S＝ . 二、任意角的三角函数 9．定义：设P(x, y)是角?终边上任意一点，且 |PO| ＝r，则sin?＝ ； cos?＝ ；tan?＝ ；
第1课时 任意角的三角函数
10．三角函数的符号与角所在象限的关系： y y y ＋ ＋ － ＋ － ＋ O x x x O O + － － ＋ － －
sinx,
cosx, tanx,
12、正弦、余弦、正切、余切函数的定义域和值域： 解析式 y＝sinx 定义域 值 域 y＝cosx y＝tanx 13．三角函数线：在图中作出角?的正弦线、余弦线、正切线． y
?
O x ?
典型例题 例1. 若?是第二象限的角，试分别确定2?,
?? ,的终边所在位置. 23解： ∵?是第二象限的角，∴k·360°+90°＜?＜k·360°+180°（k∈Z）.
（1）∵2k·360°+180°＜2?＜2k·360°+360°（k∈Z），
∴2?是第三或第四象限的角，或角的终边在y轴的非正半轴上. （2）∵k·180°+45°＜
? ＜k·180°+90°（k∈Z）， 2?＜n·360°+90°； 2??＜n·360°+270°.∴是第一或第三象限的角. 22当k=2n（n∈Z）时，n·360°+45°＜
当k=2n+1（n∈Z）时，n·360°+225°＜（3）∵k·120°+30°＜
?＜k·120°+60°（k∈Z）， 3?＜n·360°+60°； 3?＜n·360°+180°； 3??＜n·360°+300°.∴是第一或第二或第四象限的角. 33?是哪个象限的角？ 3当k=3n（n∈Z）时，n·360°+30°＜
当k=3n+1（n∈Z）时，n·360°+150°＜当k=3n+2（n∈Z）时，n·360°+270°＜变式训练1：已知?是第三象限角，问
解： ∵?是第三象限角，∴180°+k·360°＜?＜270°+k·360°（k∈Z）， 60°+k·120°＜
?＜90°+k·120°. 3①当k=3m(m∈Z)时，可得60°+m·360°＜
??＜90°+m·360°（m∈Z）.故的终边在第一象限. 33??＜210°+m·360°（m∈Z).故的终边在第三象限. 33?＜330°+m·360°（m∈Z）. 3②当k=3m+1 (m∈Z)时，得180°+m·360°＜
③当k=3m+2 （m∈Z）时，可得300°+m·360°＜故
??的终边在第四象限.综上可知，是第一、第三或第四象限的角. 33例2. 在单位圆中画出适合下列条件的角?的终边的范围,并由此写出角?的集合: (1)sin?≥
13;(2)cos?≤?. 223交单位圆于A、B两点，连结OA、OB， 2解：（1）作直线y=
则OA与OB围成的区
域即为角?的终边的范围，故满足条件的角?的集合为
?|2k?+
?2≤?≤2k?+?，k∈Z . 3312（2）作直线x=?交单位圆于C、D两点，连结OC、OD，则OC与OD围成的区域（图中阴影部分）
即为角?终边的范围.故满足条件的角?的集合为
24????|2k??????2k???,k?Z?.
33??变式训练2：求下列函数的定义域： （1）y=2cosx?1；（2）y=lg(3-4sin2x）. 解：（1）∵2cosx-1≥0，∴cosx≥.
???（k∈Z）. 由三角函数线画出x满足条件的终边范围(如图阴影所示).∴x∈??2k??,2k????33?12（2）∵3-4sin2x＞0,∴sin2x＜,∴-
3433＜sinx＜. 22利用三角函数线画出x满足条件的终边范围(如右图阴影), ∴x?（k?-??,k?+）（k?Z). 33例3. 已知角?的终边在直线3x+4y=0上，求sin?,cos?,tan?的值.
解：∵角?的终边在直线3x+4y=0上，∴在角?的终边上任取一点P(4t,-3t) (t≠0), 则x=4t,y=-3t,r=x2?y2?(4t)2?(?3t)2?5|t|, 当t＞0时，r=5t,sin?=
y?3t3x4t4y?3t3???,cos?=??,tan?=???; r5t5r5t5x4t4y?3t3??, r?5t5当t＜0时，r=-5t,sin?=
cos?=?xr4t4y?3t3??,tan?=???.
x4t4?5t5354534354534综上可知，t＞0时，sin?=?,cos?=,tan?=?;t＜0时，sin?=,cos?=-,tan?=?.
变式训练3：已知角?的终边经过点P(?3,m)(m?0),且sin??的象限，并求cos?和tan?的值． 解：由题意，得 r?3?m2,?m3?m2?2,?m?0,?m??5 42m，试判断角?所在4故角?是第二或第三象限角．当m??cos??5时,r?22，点P的坐标为(?3,5)，
x?36y515 ???,tan?????r224x?33当m??5时,r?22，点P的坐标为(?3,?5)，
?cos??x?36y?515 ???,tan????r224x?33?3例4. 已知一扇形中心角为α，所在圆半径为R． (1) 若α?，R＝2cm，求扇形的弧长及该弧所在弓形面积；
(2) 若扇形周长为一定值C(C>0)，当α为何值时，该扇形面积最大，并求此最大值．
2?2?12?1?解：（1）设弧长为l，弓形面积为S弓。l?(cm)S弓?S扇?S△＝??2??22?sin＝(323233（cm3)2
）
扇形周长C?2R?l?2R?2R ∴R?C21C21????2224?2?4?4???11C22CS???R???() ∴扇222?22?2?2c2
C2当且仅当2＝4，即α＝2时扇形面积最大为． ?164162变式训练4：扇形OAB的面积是1cm2，它的周长是4cm，求中心角的弧度数和弦长AB．
解：设扇形的半径为r，弧长为l，中心角的弧度数为α
?2r?l?4则有? ?1lr?1?2? ∴??r?1，由|α|＝lr?l?2得α＝2 ∴|AB|＝2·sin 1( cm )
第2课时 同角三角函数的基本关系及诱导公式
基础过关 1．同角公式：
(1) 平方关系：sin2α＋cos2α＝1，1＋tan2α＝ ，1＋cot2α＝ (2) 商数关系：tanα＝ ，cotα＝ (3) 倒数关系：tanα ＝1，sinα ＝1，cotα ＝1
2．诱导公式：
－α π－α ?2π＋α ?22π－α 3??? 22kπ＋α 3??? 2sin cos
sin cos ?? ?? 规律：奇变偶不变，符号看象限
3．同角三角函数的关系式的基本用途：
根据一个角的某一个三角函数值，求出该角的其他三角函数值；化简同角三角函数式；证明同角的三角恒等式． 4．诱导公式的作用：
诱导公式可以将求任意角的三角函数值转化为0°~90o角的三角函数值． 典型例题 例1. 已知f(?)=
sin(???)cos(2???)tan(????);
?tan(????)sin(????)3??1??，求f(?)的值. 2?5（1）化简f(?);（2）若?是第三象限角，且cos?????解 ：（1）f（?）=
sin??cos??(?tan?)=-cos?.
tan?sin?52?1223??21?（2）∵cos????=-sin?,∴sin?=-,cos?=-??6,∴f(?)=6.
2?5555?变式训练1：已知A＝A．{－1, 1, －2, 2}
sin(k???)cos(k???)?(k?Z)则A构成的集合是 (C )
sin?cos? B．{1, －1} C．{2, －2} D．{－2, －1, 01, 2}
35例2．求值：(1) 已知????2?,cos(??7?)??，求cos(??)的值．
2?2) 已知
tan?sin??3cos?；②sin2??sin?cos??2 ??1，求下列各式的值．①
tan??1sin??cos?解：（1）cos(?2)?；（2）
2?45sin??3cos?5??
sin??cos?3变式训练2：化简：① sin(??5?)?tan??解：①原式＝sinθ ② 原式＝0 例3. 已知－
?2?x?0，sin x＋cos x＝
??cos(8???)， ② sin(??)?cos(??)
sin(???4?)441． 5（1）求sin x－cos x的值．（2）求解：( 1 ) －，( 2 ) －
7524 175sin2x?2sin2x的值．
1?tanx
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