数学家教：高三数学三角函数一轮复习1(2)

变式训练3：已知sin? +cos?=,?∈(0,?).求值： （1）tan?;（2）sin?-cos?;（3）sin3?+cos3?.

解 方法一 ∵sin?+cos?=,?∈(0,?),∴(sin?+cos?)2=∴sin?cos?=-45151=1+2sin?cos?， 251512121＜0.由根与系数的关系知，sin?,cos?是方程x2-x-=0的两根，

52525354535解方程得x1=,x2=-.∵sin?＞0,cos?＜0,∴sin?=,cos? =-. ∴（1）tan?=-.（2）sin?-cos?=.（3）sin3?+cos3?=方法二 （1）同方法一.

（2）（sin?-cos?）2=1-2sin?·cos?=1-2×???12?49. ?=

2525??437537. 125∵sin?＞0,cos?＜0,∴sin?-cos?＞0,∴sin?-cos?=.

（3）sin3?+cos3?=(sin?+cos?)(sin2?-sin?cos?+cos2?)=×?1??7515?12?37. ?=

25?125例4．已知tan?=2,求下列各式的值：

2sin2??3cos2?2sin??3cos?22

（1）;（2） ;（3）4sin-3sincos-5cos????.

4sin??9cos?4sin2??9cos2?解：（1）原式=

2tan??32?2?32sin2??3cos2?2tan2??32?22?35???1.（2）???. 22224tan??94?2?94sin??9cos?4tan??94?2?974sin2??3sin?cos??5cos2?sin??cos?22（3）∵sin2?+cos2?=1, ∴4sin?-3sin?cos?-5cos?=

2

2

=4tan2??3tan??52tan??1?4?4?3?2?5?1.

4?1变式训练4：已知sin(?+k?)=-2cos(?+k?) (k∈Z). 求:（1）

4sin??2cos?12;（2）sin2?+cos2?.

5cos??3sin?45解：由已知得cos(?+k?)≠0,∴tan(?+k?)=-2(k∈Z),即tan?=-2.

12sin2??cos2?tan2??124sin??2cos?4tan??22255?7. （1）=4??10.（2）sin?+cos?=42225cos??3sin?5?3tan?4525sin??cos?tan??112

第3课时 两角和与差的三角函数

基础过关 1．两角和的余弦公式的推导方法： 2．基本公式

sin(α±β)＝sinα cosβ±cosα sinβ cos(α±β)＝ ; tan(α±β)＝ .

3．公式的变式

tanα＋tanβ＝tan (α＋β)(1－tanα tanβ)1－tanα tanβ＝4．常见的角的变换： 2?＝(α＋β)＋(α－β)；α＝

???2tan??tan?

tan(???)???2＋

???2α＝(α＋β)－β ＝(α－β)＋β

＝(α－

?????)－(－β)；(?x)?(?x)＝ 22244 典型例题 例1．求［2sin50°+sin10°(1+3tan10°)］·2sin280?的值. 解：原式=?2sin50??sin10???1????????3sin10?????2sin80?

cos10??????13?cos10??sin10???cos10??3sin10?2=(2sin50??sin10??)?2sin80?=?2sin50??2sin10??2??2cos10?

cos10?cos10???????2sin10?sin40??=??2sin50????2cos10?=?cos10??32sin60??6. ?2cos10??22sin60?=22?2cos10??3?,?)，sin?=,则tan(??)等于（ A ） 25411A. B.7 C.－ D.－7 77变式训练1：(1)已知?∈(

(2) sin163°sin223°+sin253°sin313°等于 （ B ）A.－

例2. 已知α?(解：∵α－∴α－

?43311 B. C.－ D.

2222??3??353?，)，β?(0，),cos(α－)＝，sin(＋β)＝，求sin(α＋β)的值． 444513443?4＋＋β＝α＋β＋

?2α∈(

?3?,44) β∈(0,?1?13?sinx?1)

3?3???3??124∈(0,) β＋∈(,π)∴sin(α－)＝ cos(??)＝－

442445413?2∴sin(α＋β)＝－cos[＋(α＋β)]＝－cos[(α－

3??56)＋(??)]＝

6544变式训练2：设cos（?－求cos（?+β）. 解：∵

?12ππ?）=－，sin（－β）=，且＜?＜π，0＜β＜，

932222?ππππ?π＜?＜π，0＜β＜，∴＜α－＜π，－＜－β＜. 2242422??451）=－，得sin（α－）=.

9292????5?2??由sin（－β）=，得cos（－β）=.∴cos=cos［（?－）－（－β）］

3232222故由cos（?－

=cos(???2)cos(?2??)?sin(???2)sin(?2??)=?1?5?2?45

933975∴cos（+β）=2cos2???－1=?75?2-1=－239. ??2???27??729227??例3. 若sinA=

510,sinB=,且A,B均为钝角,求A+B的值. 510解 ∵A、B均为钝角且sinA=cosB=-1?sinB=-2251025,sinB=，∴cosA=-1?sin2A=-=-， 51055310=-

310， ∴cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB 10=???????25??×??310?-5×10=2 ①又∵?＜A＜?, ?＜B＜?, ?5?10?10222???5∴?＜A+B＜2? ② 由①②知，A+B=

7?. 47A?C-cos2B=,求角B的度数. 22变式训练3：在△ABC中，角A、B 、C满足4sin2解 在△ABC中，A+B+C=180°,由4sin2

121?cos(A?C)77A?C-cos2B=,得4·-2cos2B+1=, 2222所以4cos2B-4cosB+1=0.于是cosB=,B=60°. 例4．化简sin2?·sin2?+cos2?cos2?-1cos2?·cos2?. 2解 方法一 （复角→单角，从“角”入手） 原式=sin2?·sin2?+cos2?·cos2?-=sin2?·sin2?+cos2?·cos2?-1·(2cos2?-1)·(2cos2?-1) 21(4cos2?·cos2?-2cos2?-2cos2?+1) 211=sin2?·sin2?+cos2?·sin2?+cos2?- 22=sin2?·sin2?-cos2?·cos2?+cos2?+cos2?-=sin2?+cos2?-111=1-=. 222方法二 （从“名”入手，异名化同名） 原式=sin2?·sin2?+(1-sin2?)·cos2?-=cos2?-sin2? (cos2?-sin2?)-??121cos2?·cos2? 211cos2?·cos2?=cos2?-sin2?·cos2?-cos2?·cos2? 221?cos2?-cos2?2??22·?sin??(1?2sin?)?

=cos2?-cos2?·?sin2??cos2??==

11?cos2?1-cos2?=. 222??12??方法三 （从“幂”入手，利用降幂公式先降次）

原式=

141?cos2?1?cos2?1?cos2?1?cos2?1·+·-cos2?·cos2?

2222211(1+cos2?·cos2?+cos2?+cos2?)-·cos2?·cos2?42=(1+cos2?·cos2?-cos2?-cos2?)+=1. 2方法四 （从“形”入手，利用配方法，先对二次项配方） 原式=(sin?·sin?-cos?·cos?)2+2sin?·sin?·cos?·cos?-=cos2(?+?)+=cos2(?+?)-

1cos2?·cos2? 2111sin2?·sin2?-cos2?·cos2?=cos2(?+?)-·cos(2?+2?) 22211·［2cos2(?+?)-1］=. 22???4??4?2cos2??1??????2tan????sin2?????4??4????变式训练4：化简：（1）2sin???x?+6cos??x?;(2）

.

解 （1）原式=22???1??3????????????????cos??x??=22?sinsin??x??coscos??x?? ?sin??x??6??4???2?4????6?4?2?4??=22cos????x?=22cos(x-?64??). 12cos2?cos2?(1?sin2?)1?sin2?（2）原式=

1?tan?1?tan?cos2???????1?cos??2????2???==1.

第4课时 二倍角的正弦、余弦、正切

基础过关 1．基本公式：

sin2α＝ ；cos2α＝ ＝ ＝ ；tan2α＝ . 2．公式的变用：

1＋cos2α＝ ；1－cos2α＝ ． 典型例题 sin40?(1?2cos40?)例1. 求值：

2cos240??cos40??1解：原式＝

sin(60??20?)?sin(60??20?)sin40??sin80?＝cos(60??20?)?cos(60??20?)＝

cos40??cos80?3

变式训练1：(cos?12?sin?12)(cos

??1133＋sin)＝ （D ）A．－ B．－ C． D．

2221212212sin2?cos??sin?的值.

sin2?cos2?例2． 已知α为锐角，且tan??，求解：∵α为锐角∴

sin2?cos??sin?sin2?cos2?＝

sin?(2cos2??1)2sin?cos?cos2?＝

51＝1?tan2?＝

4cos?变式训练2：化简：

2tan(2cos2??1?4??)?sin(2?4

??)解：原式＝

2sin(cos(cos2?＝1

?4??)?4??)??)??cos2(4例3．已知f(x)??3sin2x?sinxcosx； (1) 求f(25??13，求sinα的值． )的值； (2) 设??(0,?),f()??2426251?62cos25?325?25?25?25?∴f(?)??3cos2?sincos?0

626666解：（1）∵sin（2）f(x)?331a31313 cos2x??sin2x∴f()?cos??sin????2222222421?351?35∵2?(0,?)?sin??0 故sin??? 8816sin22－4sinα－11＝0 解得sin??变式训练3：已知sin(解：cos(

?6??)＝

12?，求cos(?2?)的值． 332???7＋2α)＝2cos2(＋α)－1＝2sin2(－α) －1＝－ 3369例4．已知sin2 2α＋sin2α cosα－cos2α＝1，α?(0，

?)，求sinα、tanα的值． 2解：由已知得sin22α＋sin2αcosα－2cos2α＝0即(sin2α＋2cosα) (sin2α－cosα)＝0

cos2α(1＋sinα) (2sinα－1)＝0∵α∈(0，) cosα≠0 sinα≠－1∴2sinα＝1 sinα＝∴tanα＝

?21233

变式训练4：已知α、β、r是公比为2的等比数列(??[0,2?])，且sinα、sinβ、sinr也成等比数列，求α、β、r的值．

解：∵α、β、r成公比为2的等比数列．∴β＝2α，r＝4α∵sinα、sinβ、sinr成等比数列 ∴

sin?sinrsin2?sin4?????cos??2cos22?1 sin?sin?sin?sin2?即2cos22?cos??1?0，解得cosα＝1或cos???

当cosα＝1时，sinα＝0与等比数列首项不为零矛盾故cosα＝1舍去 当cos???时，∵2∈[0,2π] ∴2?

122?2?2?4?8?4?8?16?或2?∴??,??,r?或??,??,r? 3333333312第5课时 三角函数的化简和求值

基础过关 1．三角函数式的化简的一般要求： ① 函数名称尽可能少； ② 项数尽可能少；

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