数学家教：高三数学三角函数一轮复习1(4)

?2?f???2??(2)依题意有：???????????3?24???4? ∴??

???6?变式训练1：已知函数y=2sin(2x?),

3?(1)求它的振幅、周期、初相；(2)用“五点法”作出它在一个周期内的图象； (3)说明y=2sin(2x?)的图象可由y=sinx的图象经过怎样的变换而得到.

3?解 （1）y=2sin(2x?)的振幅A=2,周期T=

3?2?2=?，初相?=

?. 3（2）令X=2x+

??,则y=2sin(2x?)=2sinX. 33? 6? 35? 6列表，并描点画出图象： x X y=sinX y=2sin(2x+

（3）方法一 把y=sinx的图象上所有的点向左平移把y=sin(x?)的图象上的点的横坐标缩短到原来的

3-? 12? 27?123?2 0 0 ?) 0 3? 2? 0 0 1 2 0 0 -1 -2 ??个单位，得到y=sin(x?)的图象，再33?1?倍（纵坐标不变），得到y=sin(2x?)的

32图象，最后把y=sin(2x?)上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变），即可得到

3?y=2sin(2x?)的图象.

3?方法二 将y=sinx的图象上每一点的横坐标x缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到y=sin2x的图象；

再将y=sin2x的图象向左平移

??个单位； 612得到y=sin2(x?)=sin(2x?)的图象；再将y=sin(2x?)的图象上每一点的横坐标保持不变，

633??纵坐标伸长为原来的2倍，得到y=2sin(2x?)的图象.

3?例2已知函数y=3sin(x?)

412?（1）用五点法作出函数的图象；

（2）说明此图象是由y=sinx的图象经过怎么样的变化得到的； （3）求此函数的振幅、周期和初相；

（4）求此函数图象的对称轴方程、对称中心. 解 （1）列表：

x 1?x?2412? 23?2 5?2 7?23?2 9?2 ?0 ? 2? 2? 0 3sin(x?) 0 43 0 -3 描点、连线,如图所示： （2）方法一 “先平移，后伸缩”. 先把y=sinx的图象上所有点向右平移

???个单位，得到y=sin(x?)的图象；再把y=sin(x?)444的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到

y=sin(x?)的图象，最后将y=sin(x?)的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的3倍（横

4412?12?坐标不变），就得到y=3sin(x?)的图象.

412?方法二 “先伸缩，后平移”

先把y=sinx的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），得到y=sinx的图象；再把y=sinx图象上所有的点向右平移得到y=sin(x-121212?个单位， 2?x?x?)=sin(?)的图象，最后将y=sin(?)的图象上所有点的纵坐标伸长到原

2424212来的3倍（横坐标不变），就得到y=3sin(x?)的图象.

4?（3）周期T=

2??=

?2?=4?，振幅A=3，初相是-. 142(4)令x?令

12?4=

?3+k?(k∈Z),得x=2k?+?(k∈Z),此为对称轴方程.

221???x-=k?(k∈Z)得x=+2k?(k∈Z).对称中心为(2k??,0) (k∈Z).

224232变式训练2：已知函数f(x)?3sin?xcox?x?cos2?x? (??R,x?R)的最小正周期为π且图象关

于x??6对称； (1) 求f(x)的解析式；

?(2) 若函数y＝1－f(x)的图象与直线y＝a在[0,]上中有一个交点，求实数a的范围．

2解：（1）f(x)?∵w∈R ?T?31?cos2wx331?sin2wx???sin2wx?cos2wx?1?sin(2wx?)?1 2222262???2w?w??1当w＝1时，f(x)?sin(2x??6)?1 此时x??6不是它的对称轴

∴w＝－1 ?f(x)?sin(?2x?)?1?1?sin(2x?)

66??（2）y?1?f(x)?sin(2x?)?0?x?6??2??6?2x??6?7? 611如图：∵直线y＝a在[0,]上与y＝1－f(x)图象只有一个交点 ∴??a?或a＝1

222y

1 27? 6x 0 ? 6

1－ 2

例3．如图为y=Asin(?x+?)的图象的一段，求其解析式. 解 方法一 以N为第一个零点，则A=-3，T=2(5???)=?， 63?∴?=2，此时解析式为y=-3sin（2x+?）.∵点N(?,0)，∴-6???×2+?=0，∴?=， 63所求解析式为y=-3sin(2x?). ①

3?方法二 由图象知A=3，以M(,0)为第一个零点，P(3?5?,0)为第二个零点.列方程组6???·???0???2?2??3 解之得?). ② ?2?.∴所求解析式为y=3sin(2x??5?3?????·?????3??6?变式训练3：函数y=Asin(?x+?)(?＞0,|?|＜ A. y=-4sin(x?) B. y=-4sin(x?)

8484?,x∈R)的部分图象如图，则函数表达式( ) 2????C. y=4sin(x?) D. y=4sin(x?)

8484????答案 B

例4．设关于x的方程cos2x＋3sin2x＝k＋1在[0，

?]内有两不同根α，β，求α＋β的值及2k的取值范围． 解：由cos2x＋设c: y＝sin(2x＋由图易知当

3sin2x＝k＋1得 2sin(2x＋)，l: y＝

k?12?6)＝k＋1即sin(2x＋

?6)＝

k?12

?6，在同一坐标系中作出它们的图象(略)

1k?1?22＜1时, 即0≤k＜1时

直线l与曲线c有两个交点，且两交点的横坐标为α、β，从图象中还可以看出α、β关于x＝

??对称.。故α＋β＝ 63变式训练4.已知函数f (x)＝sin(ωx＋?)(ω>0，0≤?≤π)是R上的偶函数，其图象关于点M(π，0)对称，且在区间[0，

?]上是单调函数，求?和ω的值． 234解：由f (x)是偶函数，得f(－x)＝f (x)即sin(－?x＋?)＝sin(?x＋?)

∴－cos?sin?x＝cos?sin?x对任意x都成立且?＞0，cos?＝0依题意设0≤?≤π ∴?＝由f(x)的图象关于点M对称，得f(取x＝0得f （又?＞0得

3?43?4?2

－x)＝－f (

3?43?4＋x)

3?4）＝－f （

3?4） f ()＝0∴f()＝sin(

3??3???＋)＝cos＝0 2443???2＝＋kπ?＝(2k＋1) (k＝0，1，2……) 234232x??32当k＝0时，?＝ f (x)＝sin()在[0，)在[0，

?2?2]上是减函数； ]上是减函数；

当k＝1时，?＝2 f (x)＝sin(2x＋当k≥2时，?≥

?210??2 f (x)＝sin(?x?)在[0，]上不是减函数；∴?＝或?＝2

2233第8课时 三角函数的性质

1．三角函数的性质 函 数 定义域 值 域 奇偶性 有界性 周期性 单调性 y＝sinx y＝cosx y＝tanx 最大(小)值 2．函数y＝sinx的对称性与周期性的关系．

⑴ 若相邻两条对称轴为x＝a和x＝b，则T＝ ． ⑵ 若相邻两对称点(a，0)和(b，0) ，则T＝ ．

⑶ 若有一个对称点(a，0)和它相邻的一条对称轴x＝b，则T＝ ． 注：该结论可以推广到其它任一函数． 典型例题 例1. 化简f (x)＝cos(

6k?16k?1?k∈Z)．并求f (x)??2x)＋cos(??2x)＋23sin(＋2x)(x∈R，

333的值域和最小正周期． 解：(1) f(x) ＝2sin(ax＋

?2??)(0＜a＜1)由于f(x)·g(x)最小正周期相同得＝ 即a＝2m 3am????)＝2tan(m＋)把a＝2m代入得sin(2m＋)＝tan(m＋)

6633?又f(1)＝2g(1) 即2sin(a＋

sin(m?)2????6∴sin(m＋∴2sin(m＋)cos(m＋)＝)＝0或cos(m＋)＝±

26666?cos(m?6)当sin(m＋当cos(m＋

??)＝0时，m＝k?－(k≠z)，这与0＜m＜1矛盾． 662?5???)＝±，m＝k?＋或m＝k?－?(k∈z)，由0＜m＜1得m＝故a＝

26b121212∴f(x)＝2sin(

????x＋)，g(x)＝tan(x＋) 66123????≤x＋≤2k?＋得x∈[12k－5，12k＋1] 2623(2) 由2k?－

∴f(x)的单调递增区间为[12k－5，12k＋1] (k∈z) 变式训练1：已知函数f(x)?3sin(2x?)?2sin2(x?6??12) (x?R)；

（1）求函数f(x)的最小正周期；（2）求使函数f(x)取得最大值的x的集合． 解：(1)f(x)?3sin2(x??12)?cos2(x??123?1??)?1＝2?sin2(x?)?cos2(x?)??1 ???212212??????＝2sin?∴T??2(x?)???1?2sin(2x?)?1?126?32??? 2(2)当f(x)取最大值时，sin(2x－故所求x的集合为??x|x?k??????5?)＝1有2x－＝2k?＋ 即x＝k?＋(k∈z) 332125??,k?z? 12?例2已知函数f (x)＝

2sinx1?cos2x

⑴ 求f (x)的定义域．⑵ 用定义判断f (x)的奇偶性．⑶ 在[－π，π]上作出函数f (x)的图象．

⑷ 指出f (x)的最小正周期及单调递增区间．

解：(1) 由1＋cos2x＞0得2cos2x＞0∴cosx≠0即x≠kπ＋∴函数f (x)的定义域为{x｜x≠kπ＋

?2?2，(k∈z)

，k∈z｜}

2sin(?x)1?cos(?2x)??2sinx1?cos2x??f(x)

(2)∵定义域关于原点对称，且对任意的定义域中x，f (－x)＝

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