高数教案第二章极限与连续(7)

性质2 最大值和最小值定理

若函数f(x)在闭区间[a，b]上连续，则函数f(x)在[a，b]上必能取得最大值M和最小值m，也就是说，对一切x ∈ [a，b] ，成立m ≤ f(x)≤M。

对最大值最小值定理应就意以下两点：

① 如果函数不是在闭区间而是在开区间上连续，定理的结束论不一定正确。例如，考

虑在开区间（a，b）上y?2x，它在（a，b）上，既无最大值，也无最小值；

② 如果函数在闭区间上有间数据点，定理的结论不一定正确，例如，函数

??x?1,当0?x?1时;?f(x)??1,当x?1时;

??x?3,当1?x?2时?定义在闭区间[0，2]上，x=1是它的间断点，该函数在[0，2]上既取不到最大值，也取不到最小值。

性质 3 中间值定理（介值定理）

若函数f(x)在闭区间[a，b]上连续，则它在[a，b]上一定能取到最大值M和最小值m之间的任何一个中间值C，即存在xp?[a,b]，使f(xp)?C.

性质4 零点存在定理（根的存在定理）

若函数f(x)在闭区间[a，b]上连续，且f(a)?f(b)?0,则一定存在f(x)的零点

x0?(a,b)，使 f(x0)?0。

因为f(x)在区间[a，b]端点x = a和x = b 的值异号，曲线 y?f(x)上对应于区间端占A、B分布在x轴的上、下两侧，由中间值定理，必有x0?(a,b)，使f(x0)?0。 三、本节小结：

连续函数的和差积商的连续性。反函数的连续性。复合函数的连续性。两个定理；两点意义。 初等函数的连续性。定义区间与定义域的区别； 求极限的又一种方法。 四、课外作业： 1．思考题

设，，试研究复合函数

思考题解答

与的连续性。

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在上处处连续

在上处处连续

是它的可去间断点

2．课外作业：习题2 – 4

2．在下列函数中，适当补充f(0)的定义，使f(x)在x?0处连续。

1?x?1?xx1x （1）f(x)?,x?0 （2）f(x)?sinxcos,x?0

?sin2x,x?0? 3．函数f(x)??，问常数k为何值时，函数f(x)在其定义域内连x?3x2?2x?k,x?0?续？

5．证明：三次代数方程x?4x?1?0在开区间(0,1)内至少有一个根。

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