高数教案第二章极限与连续(3)

（2）当 x ? —? 时，函数f(x)的级限

如果当x取负值，并且绝对值无限增大时，函数f(x)无限地接近于某一确定的常数a。则称常数a是函数f(x)当x ? -? 时的极限，或称当x ? -? 时，函数f(x)收敛于a。记为

x???limf(x) = a

例如，由（图2—9）可以看出 ：

x???lim2x = 0

输入 Plot[2?x，{x，-15，2}] 输出图形，如图2—9所示。

1.41.210.00.00.00.80.60.40.2-200-150-100-50-0.00-0.00-15-12.5-10-7.5-5-2.5 -0.00

（图2--9 ） （ 图2—10） 由图2—10可以看出：

x???limsinxx2 = 0

?输入 Plot[Sin[x]/ x2，{x，-200，1}] 输出图形，如图2—10所示。 （3）当 x?? 时，函数f(x)的级限

如果当x的绝对值无限增大时，函数f(x)无限地接近于某一确定的常数a，则称常数a

是函数f(x)当x??时的极限，或称当x?? 时，函数f(x)收敛于a 。记为

limx??f(x) = a

例如，由图2—11可以看出 ：

lim

x?12x?522x?? =

12

139

输入 Plot[（x?2 —1 / 2x?2 + 5），{x，-20，20}] 输出图形，如图2—11所示。

0.50.0020.40.30.20.10.001-100-50-0.00150-20-10-0.1-0.210 （ 图2—11 ） （ 图2—12）

由图2—12可以看出 ：

-0.002 limsinxx2x?? =0

输入 Plot[Sin[x]/ x?2，{x，-100，100}] 输出图形，如图2—12所示。 注意limx??f(x) = a 充分必要条件是limx???f(x) = a 且

x???limf(x) = a 。

例如，由limx???x2 = 0 ，

x???limxx 不存在 。 2 = +? ，可知lim2x??2. 当x?x0时，函数f(x)的级限

?（1） 当x?x0时，函数f(x)的级限

如果说当x从x0的右侧无限地接近x0时，函数f(x)无限地接近于某一确定的常数a ，则称常数a是函数f(x)当x?x0时的右极限，或称函数f(x)从x0的右侧收敛于a 。记为

x?x0?lim?f(x) = a

（2）当x? x0 时，函数f(x)的极限

如果当x从x0的左侧无限地接近x0时，函数f(x)无限地接近于某一确定的常数a ，则称常数a是函数f(x)当x?x0时的左极限，或称函数f(x)从x0的左侧收敛于a 。记为

140

x?x0lim?f(x) = a

?2x, x>1例如，f(x) = ?x?3, x<1x?1x?1 由图2—13可以看出 ：

lim?f(x) = 2 , lim?f(x) = 3

（图2--13） （图2--14） （3） 当x?x0时，函数f(x)的级限

如果当x无限地接近x0时，函数f(x)无限地接近于某一确定的常数a ，则称常数a是函数f(x)当x?x0时的级限，或称当x?x0时，函数f(x)收敛于a 。记为

x?x0limf(x) = a

?x?1, x?1例如，f(x) =? ， 由图2—14可以看出，limf(x) = 2 .

x?1?4?2x, x?1函数极限的定义表明： (1) limx?x0f(x)= a的充分必要条件是lim?x?x0f(x) = a , limx?x0?f(x) = a

?2x, x>1例如，f(x) = ?x

3, x<1?x?1x?1x?1 由图2—13可发看出, lim?f(x) = 2 ,

x?1lim?f(x) = 3 , lim?f(x)≠lim?f(x) ，所以limx?1f(x) 不存在；

（2）函数f(x)在x0点是否有极限，与在点x0是否有定义是没有关系的，只要函数f(x)在点x0的某一去心邻域内有定义就可以了；

（3）x是由两边同时趋向于x0的，但与具体的运动方式是没有关系的。说明 点x0的?邻域，是指与点x0的距离小于?（＞0）的点集

141

{x ∣∣x - x0∣??} 。

点x0的去心?邻域，是指与点x0的距离小于?（＞0），且去掉点x0的点集

{x ∣∣x - x0∣＜?} 。

第一章极限与连续

第四节 函数的极限

教学目的：掌握函数极限的运算法则

教学重点、难点：应用法则求函数的极限。 教学形式：讲授法和演练法。 教学时间：90分钟 教学过程

一、引入新课

函数的极限概念 二、新授课

二＞ 函数极限的性质

性质1 极限的唯一性。 函数

y= f(x)在同一个点不能有两个不同的极限，即若limx?x0f(x)= A ，且

x?x0limf(x)= B ，则A = B 。

性质2 局部有界性。

函数在存在极限的点的附近局部有界，即若lim心邻域，使得函数f(x)在这个去心邻域内有界。

性质3 保号性

（１） 已知函数极限的符号，函数的局部保号性； 若lim0）；

（２） 已知函数局部的符号，极限的保号性； 若limx?x0x?x0x?x0f(x)= A ，则存在x0的某一去

A ＞0 （＜0），则存在x0的某一去心邻域，在这个去心邻域内f(x)＞0 （＜f(x)=

A，且在x0的某一去心邻域内有f(x)＞0 （＜0），则A ? 0 （? 0）。 f(x)=

142

性质4 夹逼准则 如果limx?x0f(x) = a ，limx?x0g(x) = a ，且在x0的某一去心邻域内有

f(x)?h(x)?g(x)，则limx?x0h(x)= a 。

三＞ 函数极限的基本运算 1. 一些基本的极限

（１） 基本初等函数的极限

根据基本初等函数的图形，可以得到一些基本的极限 例如

x???limlog ax??? （a ＞1） xlim?0?log ax???（a ＞1）

f(x)= f(x0) 。

（2）初等函数的极限。

命题 如果f(x)是初等函数，那么limx0是f(x)的定义域内的点，这一命题将在讨论函数的连续性时再作介绍。 2. 函数极限的四则运算

(1) 加减法则 ： 如果limf(x)= a ，limx?x0g(x) = b ，

f(x)±lim那么lim（f(x)±

g(x)）=limg(x)= a ± b 。

(2) 乘法法则 ： 如果limf(x)= a ，limg(x) = b ，

f(x)·lim那么lim[f(x)·

(3) 除法法则 如果limg(x)]=limg(x) = a b

f(x)= a ，limg(x) = b （b≠0） ，那么limf(x)g(x) =

limf(x)limg(x) =

ab

3. 复合函数的极限运算 如果f(x)、定义，那么

g(x)是初等函数，limg(x)= a ，

f(x)在x = a的一个邻域内有

limf(g(x)) = f(limg(x)) = f(a)

例1 计算下列极限： （1）lim(x2x?1?x?2) （2）lim2x?2x?3x?x?2n22x?1

n?1m?1lim（3）

3x?2x?32x?x?22x??lim （4）

a0x?a1xb0xm???an???bmx???b1x

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