高数教案第二章极限与连续(2)

它为a的?邻域，记为O（a，?）：

O（a，?）={xa???x?a??}

“当n?N时，不等式成立xn?a??”表示数列中从N+1项起的所有项都落花流水在点a的?邻域，即xn?(a,?),n?N。

由于?具有任意性，也就是说邻域O（a，?）的长度中（如图2-5）上下两条横线的距离可以任意收缩。但不管收缩得多么小，数列一定会从某一项起全部落在由这两条线界定的范围中，不难理解，a必为这个数列的极限值。

要注意在述的收剑定义中，?既是任意的，又是给定的。因为只有对确定的?，才能找到相应的自然数N。

问题：“无限接近”意味着什么?如何用数学语言刻划它。

给定，由，只要时，有，

给定，只要时，有，

给定，只要时，有，

给定

，只要时，有成立

例1 证明：lim2n?1nn???2

证 对于任意给定的??0，要使

134

xn?2?12n?1n?2?1n??

只要n?2n?1n，取正整数N?，则当n?N时，xn?2??恒成立，故

??????2n?1n?2。

?1?xn?(n?1,2,...)以2为极限，即limn?? 例中证明方法叫做解析法，也称倒推法，这是证明极限问题经常采用的方法。证明过程中，倒推语句“要使”，“只要”等不能省略，更不能写成颠倒的因果关系。

在收敛的数列中，我们称极限为0的数列为无穷小量，例如{}，{n1(?1)2nn?1}都是无穷小

量。要注意，无穷小量是一个变量，而不是一个“非常小的量”（如10?1000）。常数列

0，0，0，?，0，?

是一个特殊的无穷小量。

从极限的定义可知，一个数列{ xn}收敛与否，收敛于哪个数，与这一数列的前面有限项列关。也就是说，改变数列前面的有限项，不影响数列的收敛性。

例如数列10，100，1000，10000，,1156,?,1n,?的极限仍然是0。

根据数列极限的定义来证明某一数列收敛 ，其关键是对任意给定的??0寻找自然数N。在上面的例题中，是通过解不等式xn?a??而得出的。但在大多数情况下，这个不等式并不容易解。实际上，数列极限的定义并不要求取到最小的或最佳的自然数N，所以在证明中常常对xn?a??适度地做一此放大处理，这是一种常用的技巧。

n?12n?7n22例2 求证：limn??=

12

证明 首先我们有 显然当 n?6时

7n?22n(2n??7)8nn22n?12n?7n22?12?7n?n2(n2?2

7)?4n

于是，对任意给定的??0，取N?max{6,[]}，当n?N时，成立

?

n?12n?7n224?12?4n??

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上述不等式的放大，是在条件“n?6”前提下才成立，所以在取N时，必须要求 ?2.收敛数列的性质

4N?[]与N?6同时成立。

性质１ 极限的唯一性。

数列{ xn}不能收敛于两个不同的极限。

对于数列{ xn}，如果存在实数M，使数列的所有的项都满足xn?M，n=1，2，?则称M是数列{ xn}的上界，如果存在实数m，使数列{ xn}的所有的项都满足m?xn，n=1，2，3，?，则称m是数列{ xn}的下界。

一个数列{ xn}，若既有上界又有下界，则称之为有界数列，显然数列{ xn}有界的一个等价定义是：存在正实数X，使数列的所有项都满足

xn?X，n= n=1，2，3，?，

性质２ 收敛数列的有界性。

如果数列{ xn}收敛，那么数列{ xn}一定有界。 性质３ 收敛数列的保号性。

如果数列{ xn}收敛于ａ，且ａ＞０（ a＜0），那么当n充分大时，有xn＞0（或xn＜0）。

性质4 夹逼准则

如果说数列{ xn}收敛于a ，数列{zn}收敛于a ，且xn?yn?zn（当n充分大时），则数列{yn}收敛于a。

例子 求数列{n?1?解 首先我们有

n?1?n=(n?1?n)(n?1?n?1?nn)n}的极限。

=1n?1?n 取xn?0，yn?n?1?n，zn?1n，则有xn?yn?zn

由{

1n}是无穷小量，且有limxn?limzn?0，利用极限的夹逼性，得到

n??n?? 136

lim(n?1?n??n)?0

因此，对数列极限概念应该形成这样一些正确认识：

(1) 数列极限是对于无穷数列而言的，但无穷数列不一定都有极限； (2) 如果说一个无穷数列有极限，则这个极限一定是一个常数；

(3) 如果说无穷数列{ xn}以a为极限，则从数轴上看，对于任意开区间（a—?,a??)，

??0 ，都能找到某一项xn，使得在这一项之后的所有项都落在这个开区间内，即这个开区

间之外最多只能有有限项。

三、本节小结：数列极限的精确定义 四、课外作业：P21 习题2--1

（3）下列数列收敛于1的有（ ）；

A．{1?1n12n} B．{(?1)(1?n)}

?2n?1?C．x?2n,n为奇数12345nn???2n D．?12,3,4,5,,?,,? ??2n,n为偶数6n?1 （4）下列数列收敛于0的有（ ）；

?A．x?0,n为奇数1111111n??1 B．1,,?3,,,,,?,,? ?2n,n为偶数2435nn?2C．?1,13,14,?15,16,?,(?1)n111112,?1n,? D．1,3,5,7,?,2n?1,? （5）若数列{xn}与数列{yn}的极限分别为a与b，且a?b，x1,y1,x2,y2,x3,?y3,的极限为（ ）。

A．a B．b

C． a?b D．不存在 2．在x?y平面上画出如下数列的散点图，并指出极限：

(1) xn?12n?1n?(?1)2n?1； (2) xn?sin1n

137

则数列

第一章极限与连续

第三节 函数的极限

教学目的：理解函数的极限的描述性定义，了解极限的性质，掌握极限的四则运算 教学重点、难点：极限的四则运算 教学形式：多媒体教室讲授与演示 教学时间：90分钟 教学过程 一、引入新课 1.数列与函数的关系。 2.数列极限的定义和几何判断 二、新授课

一＞ 函数极限的定义

1．当 x ? ? 时，函数f(x)的级限 （1）当 x ? +?时，函数 f(x)的极限

如果当x取正值，并且无限增大时，函数f(x)无限地接近于某一确定的常数a ，则称常数a是函数f(x)当 x ? +?时的极限，或称当 x ? +?时，函数f(x)收敛于a 。记为

x???limf(x) = a

例如，由图2—7可以看出

x???lim3x?2x?1x?122 =3

?输入f [ x? ]： =（3x?2 — 2x — 1）/（x2 — 1） Plot[ f [x]，{x，2，300} ] 输出图形，如图2—7所示。 由图2—8可以看出： limx???sin x 不存在

输入 Plot[Sin[x]，{x，1，100}] 输出图形，如图2—8所示。

1502.91001502002500.52.82.72.62.52.4-101020304050-0.5 -1 138

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