高数教案第二章极限与连续

第一章 极限与连续

第一节 数列的极限

教学目的：理解数列极限的概念，掌握数列极限的定义 教学重点、难点：数列极限的概念，理解掌握数列极限的定义 教学形式：多媒体教室里的课堂讲授 教学时间：90分钟 教学过程 一、引入新课

半径为R的圆的面积公式？A??R2但是得到圆面积这个计算公式却是不容易的.看电视http://v.youku.com/v_show/id_XNDE4NDUyMjA=.html

三国时代我国数学家刘徽（约公无225年—295年）创造了“割圆术”，成功地推算出圆周率和圆的面积。圆周率是对圆形和球体进行数学分析时不可缺少的一个常数，各国古代科学家均将圆周率作为一个重要课题。我国最早采用的圆周率数值为三，即所谓“径一周三”。《九章算术》中就采用了这个数据。

与刘徽类似的是，古希腊的阿基米德也用正多边形法去求圆周率。但是阿基米德是用归谬法证得这一结果的，避开了极限概念，而刘徽却大胆地应用了以直代曲、无限趋近的思想方法；且阿基米德的方法需另外计算圆外切正多边形面积，刘徽的方法则只需求内接正多边形面积。与阿基米德比，刘徽的割圆术可谓事半功倍。 二、新授课

1、一个实验说明的事实

对于一个半径为R的圆，先作圆内接正六边形，记其面积为A1；再作圆内接正十二边形，记其面积为A2 ，循此下去，每次边数成倍增加，得到一系列圆内接正多边形的面积

A1,A2,A3,?,An,?,

构成一列有次序的数,其中内接正6?2n?1?边形的面积记为 An(n?Z)。

练习题1。求半径为R的圆内接正三角形ABC的面积S?；内接正n边形的面积sn。 答案： s??334R sn?212nRsin22?n

练习题2。求半径为R的圆外切正三角形ABC的面积；外切正n边形的而积sn； ?22答案： s??33R sn?nRtan

n如果内接正n边表的面积为An，圆的面积为A，外接正n边形的面积为sn，则有 An?A?sn

129

在几何直观上,当n越大，对应的内接正多边形就越接近于圆，,即圆与正多边形的面积An（sn）之差就越小,因此以An（sn）作为圆面积的近似值就越精确.但无论内接正多边形的边数有多大,所计算的An（sn） 始终不是圆的面积.

于是设想,如果n无限增大(记为 n??，读作 n趋于无穷大)时, An（sn）无限接近某个确定的数。在数学上称这个确定数是上面给出的一列有次序的数(即数列)A1,A2,?,An,?，（S1,S2,?Sr?,Sn?）当 n??时的极限 。在圆面积问题的讨论中,大家看到,正是这个数列极限才精确地表达了圆面积的结果,也可以说,解决圆面积所采用的方法就是极限方法。

2、数列与函数的关系

按照一定顺序排列着的一列数就叫做数列，记为{xn}，其中第 n项做xn叫数列的一般项。

{xn}: x1,x2,x3,...xn,...

数列的例子：

{nn?1n}:123n,,,?,,?;234n?1n{2}:2,4,8,?,2,?;

{12}:nn1111,,,?,n,?;2482nnn{(?1)}:?1,1,?1,1,?1,?,(?1),?;{n?(?1)n32n?(?1)}:0,,,?,,?;23n它们的一般项依次为

nn?1,2,n12n,(?1),nn?(?1)nn.

数列{ xn}可以看作自变量为自然数n的函数 xn?f(n) 它的定义域是全体正整数。

3、数列的几何意义

从一维角度考察，数列{ xn}可以看作数轴上的一个动点，它依次取数轴上的点

x1,x2,x3,?,x,?, 然而，从二维角度考察，数列{ xn}可以看作XOY面上的点集n{（n，xn）}，在XOY平面上数列{ xn}表现为一个散点图。

130

4、数列的散点图

在XOY平面上画出如下数列的散点图： （1） {nn?1}； （2） {2} （3） {nn12n} （4） { (?1)n}

（5） {n?(?1)n} （6） { sin n }

输出图形如（图2—1）至图（2—6）所示。

2500.982000.961500.941000.925020406080 234567

（图2—1 数列）??n?n? （ 图2—2 ） 数列?2? ?n?1?10.50.50.40.3100.2203040-0.50.1234567 -1 （ 图2—3 数列） {1.212n} （ 图2—4 ） 数列{(?1)n}

11.10.5100.9203040-0.5102030400.8 -1 （ 图2—5） 数列{n?(?1)nn}的图形 （图2—6） 数列{sinn}

nn?1由（图2—1）至图（2—6）可以看出，随着n的增大，越来越趋向于1；2越

n 131

来越大；

12n越来越趋向于0；－１与１之间变动；

n?(?1)nn 越来越趋向于１；sin n在

－１与１之间变动．

5、 数列极限的直观定义

对于数列{ xn}，如果当ｎ无限增大时，数列的一般项 xn无限地接近于某一确定的常数ａ，则称常数ａ是数列{ xn}的极限，或称数列{ xn}收敛于ａ，记为

limn??xn?a

如果数列没有极限，称数列是发散的， 例如，

limnn?1

＝１ ，

n＝０n??lim1n??2而{2n}，{ (?1)n}，{ sin n } 是发散的． 三、本节小结：数列与数列极限的概念

四、课外作业：P21 习题2—1 1。选择题（1），（2）

132

，

limn?(?1)nn??n

＝１

第一章 极限与连续

第二节 数列的极限

教学目的：掌握数列极限的定义，会用定义证明数列的极限，了解收敛数列的性质。 教学重点、难点：用定义证明数列的极限 教学形式：讲授法 教学时间：90分钟 教学过程 一、引入新课

数列的极限描述性定义与几何表现 例如：数列{n?(?1)nn}是有极限的，它的图象如下：

?ListPlot[Table[（n+(?1)n)/n,{n，1，50}]]

1.21.1100.92030400.8图2-5 对于数列{ xn}，如果当ｎ无限增大时，数列的一般项 xn无限地接近于某一确定的常数ａ，则称常数ａ是数列{ xn}的极限，或称数列{ xn}收敛于ａ，记为

limxn?a

n??如果数列没有极限，称数列是发散的。 二、新授课

1、数列极限的精确定义

设有数列{ xn}及常数a，如果对于任意给定的正数?，总存在一个正整数N，当n?N时，不等式

xn?a??

恒成立，则称常数a为数列{ xn}的极限，或称数列{ xn}收敛于a，记作limxn?an??或xn?a(n??)，如果这样的常数a不存在，就说数列没有极限，或称数列发散。 在直角平面坐标系OXY的Y轴上取以为a为中心，?为半径的一个开区间(a??,a??)，称

133

百度搜索“77cn”或“免费范文网”即可找到本站免费阅读全部范文。收藏本站方便下次阅读，免费范文网，提供经典小说综合文库高数教案第二章极限与连续在线全文阅读。