高数教案第二章极限与连续(4)

（5）lim解 （1）limx?13??1??? （6）lim n33?1n???1?x1?x?2?1

n

x?1(x22limx+ limx — lim?x?2) =

x?1x?1x?12 = 1 + 1 — 2 = 0

（2）limx?2x?3x?x?222x?1 = lim(x?1)(x?3)(x?1)(x?2)3xx?1 = limx?3x?2x?1 =

432x2

lim（3）

3x?2x?32x?x?222x??lim =

?2xx2??3xx3x??

2?1223?? =

lim?2?limx??3xx????3x31x22x3?? = 0

（4）利用第（3）题的类似方法可以得到

lim

a0x?a1xb0xmnn?1m?1???an???bmx???b1x??, m?n??a0, m?n = ??b0?0, m?n?2（5）lim3??1lim1?x?x?3 = ???33x?1x?11?x?1?x1?x?= lim??x?1??x?2?x?1?x?1??x2?x?1n? = lim?x2?x?2?x?1 = ?1

?x?12?1

（6）limn??n

3?1

n

= limn??1?2????n3?3?0 = =0 111?n3三、本节小结：

函数极限的概念和运算。 四、课外作业：

课堂练习：P30习题2—2 1。（1）~（8） 2．并作图来验证。 3．依次做。

第一章极限与连续

第五节 两个重要极限

144

教学目的：会用两个重要极限求极限，了解无穷小与无穷大 教学重点、难点：应用两个重要极限求函数的极限。 教学形式：课堂讲授。 教学时间：90分钟 教学过程 一、引入新课 二、新授课 证明（1）

limx??1??1??? = e

x??x例2 求极限：

limx??2???1??

x??x2xlim解

x????1??????1x????2?1?x??? = lim???x??x?2?????21tt2???1???lim?1?? = ?x???x?? ?2?????x22令t??xlim?1?x????? =

xe

2

1???lim1?例3 求极限：?? x??x??解

?x?11????lim?1???lim??1??x??x???x??x????

x?????1?x?1????lim?1???x????x???????1t?1??令t??x?lim?1???x???t???2??e??2例4 求极限：limx?0?1?x?1x

11?x?x?解： limx?01??x??1?1?lim?1??令t? lim?1?x?0x??1x???x??x1???e t?t1??lim1?因此，极限 ???e 的另一种极限形式是 x??x?? lim

1?x??x?0145

1x?e

（2）limsinxx= 1

x?0sin??例5求极限 ：limx?0x?limx?0

解 limsin??xsin?xx?0?x

??令t??xlimt?0sintt????

例6 求极限 limtanxxx?0解： limtanxxx?0?limxsinsinxx1x

1xx?0?1cosx?limsinxxx?0?lim1cosxx?0?1

例7 求极限：limx??解 x??limxsin1x?limsin1xx?? 令t?1x limx?0sintt?1

三、本节小结：

两个重要极限，无穷小与无穷大之间的关系。 四、课外作业：

P33习题2—3 1，2两大题。 1

第一章极限与连续

第六节 函数的连续性

教学目的：理解函数连续概念，会判断间断点类型。了解初等函数的连续性。 教学重点、难点：函数的连续性与判断间断点。 教学形式：课堂讲授法

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教学时间：90分钟

教学过程

一、引入新课

函数图形的类型：点，线段，射线、直线和曲线。 二、新授课

一、f(x)在点x0的连续

1．f(x)在点x0的连续

函数连续与否的概念于对函数图象的直观分析。例如，函数y=f(x)=x2的图象是一条抛物线，图象上各点相互“连结”而不出现“问题”，构成了曲线“连续”的外观。而符号函数y?sgnx的图象也直观地告诉我们，它的“连续性”在x?0处遭到破坏，也就是说在这一点出现了“间断”。

用分析的观点来看，函数y=f(x)在某点x0处是否具有“连续”特性，就是指当x在

x0点附近作微小变化时，f(x)是否也在f(x0)附近作微小变化。借助于己经学过的函数极

限的工具，就是看当自变量x趋于x0（x?x0）时，因变量y是否趋于f(x0)（y?f(x0)）。

设函数f(x)在点x0的某邻域有定义，若 limf(x)=f(x0)，则称f(x)在点x0处

x?x0连续。若f(x)在点x0处不连续，则f(x)在点x0处间断，称x0为f(x)的间断点。

根据连续的定义，f(x)在点x0处连续，必须满足： （1）f(x)在点x0处有定义，即f(x0)有意义； （2）limx?x0f(x)存在，即

x?x0lim?f(x) = lim?f(x)

x?x0x?x0（3）极限值等于函数值，即limf(x)=f(x0) 。

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2、单侧连续

若函数在内有定义，且，则称在点处左连续。

若函数在内有定义，且，则称在点处右连续。

定理 。

例2 。

解 ，

右连续但不左连续 ，

，

故函数在点处不连续。

二、间断点的类型

按f(x)在点x0处的左、右极限是否存在，可以将间断点分为第一类间断点和第二类间断点。

1． 第一类间断点：左极限 、右极限都存在。 如果说左极限 ≠ 右极限，则称x0为跳跃间断点； 如果左极限 = 右极限，则称x0为可去间断点；

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