故、在都连续。 但反之不成立。
例
在不连续，但 、在连续。
第一章极限与连续
第七节 函数的连续性
教学目的：函数连续性，初等函数连续性，闭区间上连续函数性质 教学重点、难点：连续函数的性质应用 教学形式：课堂讲授 教学时间：90分钟
教学过程
一、引入新课
1．判断函数连续性的方法：
（１） 寻找使函数f(x)没有定义的点x0 ，如果有没有定义的点x0 ，则x0一定为
间断点；
（２） 寻找使lim（３） 寻找使用limf(x)不存在的点x0 ，分段函数间断点通常发生于分段点处； f(x) ≠f(x)的点x0 。
x?x0?1x?2?1,当x?0时;? 例1 判断函数f(x)??1 在x?0处的连续性。
x?2?1??1,当x?0时解
In[1]:?Limit[(2(1/x)?1)/(2(1/x)?1),x?0,Direction?1]??
Out[1]??1In[2]:?Limit[2(1/x)?1)/(2(1/x)?1),x?0,Direction??1]Out[2]?1??
154
因为左极限、右极限不相等，所以f(x)在点x?0处间断。 2．f(x)在区间上连续的几何意义
如果f(x)在某区间上连续，则在该区间上函数f(x)的曲线是一条不间断连续曲线。 二、新授课
三＞、f(x) 在区间上的连续性
1、区间上的连续函数
如果函数f(x)在某区间上的每一点都连续，则称f(x)为该区间上的连续函数，该区间称为函数f(x)的连续区间。
定理一 初等函数在其定义区间上的每一点都连续，即初等函数是其定义区间上的连续函数。
这个定理是求初等到函数极限 的重要依据，我们在前面计算极限时已经用到了这个定理。
即： 若函数
在点
处连续，则在点
处也连续。
例如，
定理二 严格单调的连续函数必有严格单调的连续反函数。
例如，增加且连续。
，故在上也是单调
同理
上单调且连续。
在上单调减少且连续；在
反三角函数在其定义域内皆连续。
定理三 若，函数
。
在点连续，则有
155
证
将上两步合起来：
恒有成立。
成立。
意义
1.极限符号可以与函数符号互换；
2.变量化换的理论依据。
例1 求
解
例2 求
156
解
同理可得
定理四 设函数连续，则复合函数
在点
在点
连续，且
也连续。
，而函数在点
注意 定理4是定理3的特殊情况。
例如，
定理5 基本初等函数在定义域内是连续的。 定理6 一切初等函数在其定义区间内都是连续的。 定义区间是指包含在定义域内的区间。
注意 1.初等函数仅在其定义区间内连续，在其定义域内不一定连续；
例如，这些孤立点的邻域内没有定义。
157
在0点的邻域内没有定义。
注意 2.初等函数求极限的方法代入法。
例3 求
解
例4 求
解
3．闭区间上连续函数的性质
闭区间上连续函数有以下重要性质，这些性质在后面的讨论中经常会用到，故应该结合图形细心体会和应用这些性质。注意，若把闭区间换成开区间，则结论就不一定成立了。 性质1 有界性定理
若函数f(x)在[a，b]连续，则在[a，b]上有界。
这个定理的几何意义是：f(x)的图形位于与x轴平行的两面三刀直线y = N 和 y = —N之间。
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