冲刺985：高三数学立体几何讲义(7)

PEHAOBCD

【考点定位】1.直线与平面平行；2.点到平面的距离.

【名师点睛】本题考查了直线与平面平行的判断与证明，等体积的求法求距离，属于中等题，考查学生分析解决问题的能力，要证线面平行，由判定定理可知，只需在面内作一直线与已知直线平行即可，如何作出这条面内线就是平时的经验积累与分析思维的能力了，求点到平面的距离，可用等体积法．

25. 【2014年.浙江卷.文20】（本小题满分15分）

如图，在四棱锥A?BCDE中，平面ABC?平面BCDE；?CDE??BED?90?，

AB?CD?2，DE?BE?1，AC?2. （1）证明：AC?平面BCDE；

（2）求直线AE与平面ABC所成的角的正切值.

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【答案】（1）详见解析；（2）

13. 13CD?2得BD?BC?2，试题解析：（1）连结BD，在直角梯形BCDE中，由DE?BE?1，

222由AC?2,AB?2得AB?AC?BC，即AC?BC，

又平面ABC?平面BCDE，从而AC?平面BCDE.

（2）在直角梯形BCDE中，由BD?BC?2，DC?2得BD?BC， 又平面ABC?平面BCDE，所以BD?平面ABC.

作EF//BD于CB的延长线交于F，连结AF，则EF?平面ABC， 所以?EAF是直线AE与平面ABC所成的角. 在Rt?BEF中，由EB?1，?EBF??4，得EF?22，BF?， 22在RT?ACF中，AC?2，CF?3226，得AF?， 22在Rt?AEF中，由EF?22613，AF?得tan?EAF?， 221332

所以直线AE与平面ABC所成的角的正切值是

13. 13考点：空间点、线、面的位置关系，线面所成的角.

【名师点睛】传统方法证明直线和平面垂直的常用方法：(1)利用判定定理；(2)利用判定定理的推论(a∥b，a⊥α?b⊥α)；(3)利用面面平行的性质(a⊥α，α∥β?a⊥β)；(4)利用面面垂直的性质．当两个平面垂直时，在一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面．有关线面是成角问题主要通过线在面内的射影，三垂线定理构造直角三角形求解.

28.【2014，安徽文19】（本题满分13分）

如图，四棱锥P?ABCD的底面边长为8的正方形，四条侧棱长均为217.点G,E,F,H分别是棱PB,AB,CD,PC上共面的四点，平面GEFH?平面ABCD，BC//平面GEFH. （I）证明：GH//EF;

（II）若EB?2，求四边形GEFH的面积.

【答案】（I）GH【解析】

试题分析：（I）要证线线平行，通过线面证明线线平行，再根据平行的传递性即可证明.因为∥平面GEFH，BC同理可证EF∥

//EF；（II）18.

BC?平面PBC，且平面PBC平面GEFH?GH，所以GH∥BC.

BC，因此GH∥EF.（II）要求出四边形GEFH的面积，首先需要确定四

边形的形状，求出四边形一些量的大小即可求出.连接AC,BD交于点O，BD交EF于点

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K，连接OP,GK.因为PA?PC，O是AC的中点，所以PO?AC，同理可得

PO?BD.又BD平面GEFHAC?O，且AC,BD都在底面内，所以PO?底面ABCD.又因为

?平面ABCD，且PO?平面GEFH，所以PO∥平面GEFH.因为平面

?GK，所以PO∥GK，且GK?底面ABCD，从而GK?EF.

AB?8,EB?2得EB:AK=KB:DB?1:4，从而

PBD平面GEFH所以GK是梯形GEFH的高.由

KB?111DB?OB，即K为OB的中点.再由PO∥GK得GK?PO，即G是PB422?1BC?4.由已知可得OB?42,PO?PB2?OB2?68?32?6，2的中点，且GH所以GK?3，故四边形GEFH的面积S?GH?EF4?8?GK??3?18. 22平面

试题解析：（I）证明：因为

BC∥平面GEFH，BC?平面PBC，且平面PBCGEFH?GH，所以GH∥BC.同理可证EF∥BC，因此GH∥EF.

（2）连接AC,BD交于点O，BD交EF于点

K，连接OP,GK.因为PA?PC，O是

AC?O，且AC,BD都在

AC的中点，所以PO?AC，同理可得PO?BD.又BD底面内，所以

PO?底面ABCD.又因为平面GEFH?平面ABCD，且PO?平面

平面GEFHGEFH，所以PO∥平面GEFH.因为平面PBD且GK?GK，所以PO∥GK，

?底面ABCD，从而GK?EF.所以GK是梯形GEFH的高.由AB?8,EB?234

得

EB:AK=KB:DB?1:4，从而KB?11DB?OB，即K为OB的中点.再由PO42∥

GK得GK?11PO，即G是PB的中点，且GH?BC?4.由已知可得22OB?42,PO?PB2?OB2?68?32?6，所以GK?3，故四边形GEFH的面

积

S?GH?EF4?8?GK??3?18. 22考点：1.线面平行的性质定理；2.平行的传递性；3.四边形面积的求解.

【名师点睛】解答空间几何体中的平行、垂直关系时，一般要根据已知条件把空间中的线线、线面、面面之间的平行、垂直关系进行转化，转化时要正确运用有关的定理，找出足够的条件进行推理；求四边形面积出现的很少，做好这类问题需要分析四边形是何种类型的，各参数是多少即可求出.

29.

【2015高考安徽，文19】如图，三棱锥P-ABC中，PA?平面ABC，

PA?1,AB?1,AC?2,?BAC?60o.

（Ⅰ）求三棱锥P-ABC的体积；

（Ⅱ）证明：在线段PC上存在点M，使得AC?BM，并求

PM的值. MC

【答案】（Ⅰ）PM13? （Ⅱ）

MC3635

（Ⅱ）证：在平面ABC内，过点B作BN?AC，垂足为N，过N作MN//PA交PC于

M，连接BM.

由PA?面ABC知PA?AC，所以MN?AC.由于BN?MN＝N，故AC?面MBN，

又BM?面MBN，所以AC?BM. 在直角?BAN中，AN?AB?cos?BAC?13，从而NC?AC?AN?.由MN//PA，得22PMAN1＝?. MCNC3【考点定位】本题主要考查锥体的体积公式、线面垂直的判定定理和其性质定理.

【名师点睛】本题将正弦定理求三角形的面积巧妙地结合到求锥体的体积之中，本题的第（Ⅱ）问需要学生构造出线面垂直，进而利用性质定理证明出面面垂直，本题考查了考生的空间想象能力、构造能力和运算能力.

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