冲刺985：高三数学立体几何讲义(6)

棱柱ABC?A1B1C1是直三棱柱，所以CD?AA1，因此CD?平面A1AB1B，于是?CA1D直线AC与平面A11ABB1所成的角，由题设知?CA1D?45， 所以A1D?CD?3AB?3， 3AA1?在Rt?AA1D中，

A1D2?AD2?3?1?2，所以FC?12 AA1?22故三棱锥F?AEC的体积V?11326。 SAEC?FC????332212

【考点定位】柱体、椎体、台体的体积；面面垂直的判定与性质

【名师点睛】证明面面垂直的关键在于熟练把握空间垂直关系的判定与性质，注意平面图形中的一些线线垂直关系的灵活利用，这是证明空间垂直关系的基础．由于“线线垂直”“线面垂直”“面面垂直”之间可以相互转化，因此整个证明过程围绕着线面垂直这个核心而展开，这是化解空间垂直关系难点的技巧所在．求锥的体积关键在于确定其高，即确定线面垂直.

11. 【2016高考山东文数】（本小题满分12分）

在如图所示的几何体中，D是AC的中点，EF∥DB.

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（I）已知AB=BC，AE=EC.求证：AC⊥FB；

（II）已知G,H分别是EC和FB的中点.求证：GH∥平面ABC. 【答案】（Ⅰ））证明：见解析；（Ⅱ）见解析. 【解析】

（Ⅱ）设FC的中点为I，连GI,HI，在?CEF中，G是CE的中点，所以GI//EF，又

EF//DB，所以GI//DB；在?CFB中，H是FB的中点，所以HI//BC，又GI?HI?I，

所以平面GHI//平面ABC，因为GH?平面GHI，所以GH//平面ABC.

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EFHGIADCB

考点：1.平行关系；2.垂直关系.

【名师点睛】本题主要考查直线与直线垂直、直线与平面平行.此类题目是立体几何中的基本问题.解答本题，关键在于能利用直线与直线、直线与平面、平面与平面关系的相互转化，通过严密推理，给出规范的证明.本题能较好的考查考生的空间想象能力、逻辑推理能力及转化与化归思想等.

12. 【2015高考山东，文18】 如图，三棱台DEF?ABC中，AB?2DE，G，H分别

为AC，BC的中点.

（I）求证：BD//平面FGH；

（II）若CF?BC，AB?BC，求证：平面BCD?平面EGH.

【答案】证明见解析 【解析】

（I）证法一：连接DG,CD.设CD?GF?M,连接MH，在三棱台DEF?ABC中，

AB?2DE，G分别为AC的中点，可得DF//GC,DF?GC，所以四边形DFCG是平行

四边形，则M为CD的中点，又H是BC的中点，所以HM//BD,

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又HM?平面FGH，BD?平面FGH，所以BD//平面FGH.

来源学科网Z.X.X.K]

证法二：在三棱台DEF?ABC中，由BC?2EF,H为BC的中点， 可得BH//EF,BH?EF,所以HBEF为平行四边形，可得BE//HF. 在?ABC中，G，H分别为AC，BC的中点， 所以GH//AB,又GH?HF?H， 所以平面FGH//平面ABED， 因为BD?平面ABED， 所以BD//平面FGH.

(II)证明：连接HE.因为G，H分别为AC，BC的中点，所以GH//AB,由AB?BC,得

GH?BC，又H为BC的中点，所以EF//HC,EF?HC,因此四边形EFCH是平行四

边形，所以CF//HE.

又CF?BC，所以HE?BC.

又HE,GH?平面EGH，HE?GH?H，所以BC?平面EGH， 又BC?平面BCD，所以平面BCD?平面EGH. 【考点定位】1.平行关系；2.垂直关系.

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【名师点睛】本题考查了空间几何体的特征及空间直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行关系和垂直关系，从证明方法看，起点低，入口宽，特别是第一小题.证明过程中，关键是注意构造线线的平行关系、垂直关系，特别是注意利用平行四边形，发现线线关系，进一步得到线面关系、面面关系.

本题是一道能力题，属于中等题，重点考查两空间几何体的特征及空间直线、平面的平行关系和垂直关系等基础知识，同时考查考生的逻辑推理能力、空间想象能力思维的严密性、函数方程思想及应用数学知识解决问题的能力.

16. 【2014全国2，文18】（本小题满分12分）

如图，四棱锥点.

（Ⅰ）证明：PB//平面（Ⅱ）设AP?1,AD?PEADP?ABCD中，底面ABCD为矩形，PA?平面ABCD，E是PD的中

AEC；

3，三棱锥P?ABD的体积V?3，求A到平面PBC的距离. 4BC

【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）313 1330

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