冲刺985：高三数学立体几何讲义(5)

6.【2015高考四川，文14】在三棱住ABC－A1B1C1中，∠BAC＝90°，其正视图和侧视图都

是边长为1的正方形，俯视图是直角边长为1的等腰直角三角形，设点M，N，P分别是AB，BC，B1C1的中点，则三棱锥P－A1MN的体积是______. 【答案】

1 24A1

C1

P

B1

C N

A

B

【解析】由题意，三棱柱是底面为直角边长为1的 等腰直角三角形，高为1的直三棱柱，底面积为如图，因为AA1∥PN，故AA1∥面PMN， 故三棱锥P－A1MN与三棱锥P－AMN体积相等， 三棱锥P－AMN的底面积是三棱锥底面积的

1 2M

1，高为1 4故三棱锥P－A1MN的体积为

1111???32424

【考点定位】本题主要考查空间几何体的三视图、直观图及空间线面关系、三棱柱与三棱锥的体积等基础知识，考查空间想象能力、图形分割与转换的能力，考查基本运算能力.

【名师点睛】解决本题，首先要正确画出三棱柱的直观图，包括各个点的对应字母所在位置，结合条件，三棱锥P－A1MN的体积可以直接计算，但转换为三棱锥P－AMN的体积，使得计算更为简便，基本上可以根据条件直接得出结论.属于中档偏难题.

三、解答题

1．【2016高考新课标1文数】（本题满分12分）如图,在已知正三棱锥P-ABC的侧面是直角三

角形,PA=6,顶点P在平面ABC内的正投影为点E,连接PE并延长交AB于点G. （I）证明G是AB的中点；

21

（II）在答题卡第（18）题图中作出点E在平面PAC内的正投影F（说明作法及理由）,并求四面体PDEF的体积．

PAGEDB

C【答案】（I）见解析（II）作图见解析,体积为【解析】

4 3.由PA?PB可得G是AB的中点. （II）试题分析：先证明AB?PG在平面PAB内,过点E

作PB的平行线交PA于点F,F即为E在平面PAC内的正投影.要求四面体PDEF的体积可先证明DE?平面PAB,把DE看作高,求出高及底面积,即可确定体积.

. 试题解析：（I）因为P在平面ABC内的正投影为D,所以AB?PD

. 因为D在平面PAB内的正投影为E,所以AB?DE. 所以AB?平面PED,故AB?PG又由已知可得,PA?PB,从而G是AB的中点.

（II）在平面PAB内,过点E作PB的平行线交PA于点F,F即为E在平面PAC内的正投影.

理由如下：由已知可得PB?PA,PB?PC,又EF//PB,所以EF?PC,因此

22

EF?平面PAC,即点F为E在平面PAC内的正投影.

连接CG,因为P在平面ABC内的正投影为D,所以D是正三角形ABC的中心. 由（I）知,G是AB的中点,所以D在CG上,故CD?2CG. 3由题设可得PC?平面PAB,DE?平面PAB,所以DE//PC,因此21PG,DE?PC. 33PE?由已知,正三棱锥的侧面是直角三角形且PA?6,可得DE?2,PE?22. 在等腰直角三角形EFP中,可得EF?PF?2. 所以四面体PDEF的体积V?114??2?2?2?. 323考点：线面位置关系及几何体体积的计算

【名师点睛】文科立体几何解答题主要考查线面位置关系的证明及几何体体积的计算,空间中线面位置关系的证明主要包括线线、线面、面面三者的平行与垂直关系,其中推理论证的关键是结合空间想象能力进行推理,要防止步骤不完整或考虑不全致推理片面,该类题目难度不大,以中档题为主.

5. [2016高考新课标Ⅲ文数]如图，四棱锥P?ABC中，PA?平面ABCD，AD中点．

BC，

AB?AD?AC?3，PA?BC?4，M为线段AD上一点，AM?2MD，N为PC的

（I）证明MN平面PAB；

23

（II）求四面体N?BCM的体积. 【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）【解析】

试题分析：（Ⅰ）取PB的中点T，然后结合条件中的数据证明四边形AMNT为平行四边形，从而得到MN由此结合线面平行的判断定理可证；（Ⅱ）由条件可知四面体N?BCMAT，

45． 3的高，即点N到底面的距离为棱PA的一半，由此可顺利求得结果． 试题解析：（Ⅰ）由已知得AM?中点知TN//BC，TN?2AD?2，取BP的中点T，连接AT,TN，由N为PC31BC?2. ......3分 2又AD//BC，故TNAM，四边形AMNT为平行四边形，于是MN//AT.

因为AT?平面PAB，MN?平面PAB，所以MN//平面PAB. ........6分

（Ⅱ）因为PA?平面ABCD，N为PC的中点， 所以N到平面ABCD的距离为

1PA. ....9分 2取BC的中点E，连结AE.由AB?AC?3得AE?BC，AE?由AM∥BC得M到BC的距离为5，故S?BCM?所以四面体N?BCM的体积VN?BCM?AB2?BE2?5.

1?4?5?25， 21PA45. .....12分 ?S?BCM??323考点：1、直线与平面间的平行与垂直关系；2、三棱锥的体积．

【技巧点拨】（1）证明立体几何中的平行关系，常常是通过线线平行来实现，而线线平行常常利用三角形的中位线、平行四边形与梯形的平行关系来推证；（2）求三棱锥的体积关键是确定其高，而高的确定关键又推出顶点在底面上的射影位置，当然有时也采取割补法、体积转换法

24

求解．

9.【2015高考湖南，文18】（本小题满分12分）如图4，直三棱柱ABC?A1B1C1的底面是

边长为2的正三角形，E,F分别是BC,CC1的中点。 （I）证明：平面AEF?平面B1BCC1；

F?AEC的体积。 （II）若直线AC与平面A11ABB1所成的角为45，求三棱锥

【答案】（I）略；(II)【解析】

6 . 12（II）设AB的中点为D，连接A1D,CD，因为?ABC是正三角形，所以CD?AB，又三

25

百度搜索“77cn”或“免费范文网”即可找到本站免费阅读全部范文。收藏本站方便下次阅读，免费范文网，提供经典小说综合文库冲刺985：高三数学立体几何讲义(5)在线全文阅读。