☆立体几何高考题选讲（注意：小题文理通用，大题文理分做）
1. [2016高考新课标1卷文] 平面?过正文体ABCD—A1B1C1D1的顶点A?//平面CB1D1,
?平面ABCD?m,?平面ABB1A1?n,则m,n所成角的正弦值为（ ）
（A）
1323（B）（C）（D）
32 2 3
1. [2016年天津卷理] 如图，正方形ABCD的中心为O，四边形OBEF为矩形，平面OBEF⊥平面ABCD，点G为AB的中点，AB=BE=2. （I）求证：EG∥平面ADF； （II）求二面角O-EF-C的正弦值； （III）设H为线段AF上的点，且AH=
【解析】（Ⅰ）证明：找到AD中点I，连结FI，
∵矩形OBEF,∴EFOB
∵G、I是中点，∴GI是△ABD的中位线
1∴GI∥BD且GI?BD
2∥2HF，求直线BH和平面CEF所成角的正弦值. 3∵O是正方形ABCD中心
1∴OB?BD
2∴EF∥GI且EF=GI ∴四边形EFIG是平行四边形 ∴EG∥FI ∵FI?面ADF ∴EG∥面ADF （Ⅱ）O?EF?C正弦值
解：如图所示建立空间直角坐标系O?xyz
6
EzFHBGAOIxCDy
B?0，?2，0?，C?2，0，0?，E?0，?2，2?，设面CEF的法向量n1??x，y，z?
??n1?EF??x，y，z???0，2，0??2y?0???n1?CF??x，y，z????2，0，2???2x?2z?0 ?x?2得：??y?0
??z?1∴n1??2，0，1?
∵OC?面OEF，
∴面OEF的法向量n2??1，0，0?
cos?n1，nn262??n1?n1n?223?1?3 2sin?n??1???6?31，n2??3????3 （Ⅲ）∵AH?23HF
∴AH?25AF?25?2，0，2????224???5，0，5?? ?设H?x，y，z? ∴
7
F?0，0，2?
得：
64??BH?n1755 cos?BH，n2????2122BHn13?5
2. [2016年全国Ⅰ卷] 如图，在以A，B，C，D，E，F为顶点的五面体中，面ABEF为正方形，
AF=2FD，?AFD?90，且二面角D-AF-E与二面角C-BE-F都是60．
（I）证明：平面ABEF?平面EFDC； （II）求二面角E-BC-A的余弦值． 【解析】 ⑴
∵ABEF为正方形 ∴AF?EF ∵?AFD?90? ∴AF?DF ∵DFEF=F
∴AF?面EFDC AF?面ABEF ∴平面ABEF?平面EFDC
8
⑵ 由⑴知?DFE??CEF?60? ∵AB∥EF
AB?平面EFDC
EF?平面EFDC
∴AB∥平面ABCD
AB?平面ABCD
∵面ABCD面EFDC?CD ∴AB∥CD,∴CD∥EF ∴四边形EFDC为等腰梯形
以E为原点，如图建立坐标系，设FD?a E?0，0，0??a3?B?0，2a，0? C?，0，a??2?2?? A?2a，a2，?0?a3?，?2a，a?EB??0，2a，0?，BC??0，0? ?2?，AB???2a，2??设面BEC法向量为m??x，y，z?.
?2a?y1?0?m?EB?0??，即 ?a?3?x?2ay?a?z?0??111?m?BC?0?22x1?3，y1?0，z1??1
m??3，0，?1
?设面ABC法向量为n??x2，y2，z2?
?a3?az2?0?x2?2ay2??n?BC=0.即?2 2??2ax?0??n?AB?0?2x2?0，y2?3，z2?4
n?0，3，4
??设二面角E?BC?A的大小为?.
cos??m?nm?n??43?1?3?16??219 19219 199
∴二面角E?BC?A的余弦值为?
3. [2016年全国II卷] 如图，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，AB?5,AC?6，点E,F分别在AD,CD上，AE?CF?5，EF交BD于点H．将?DEF沿EF折到4?D'EF位置，OD??10．
（Ⅰ）证明：D?H?平面ABCD； （Ⅱ）求二面角B?D?A?C的正弦值．
【解析】⑴证明：∵AE?CF?∴EF∥AC．
∵四边形ABCD为菱形，∴AC?BD， ∴EF?BD，∴EF?DH，∴EF?D?H． ∵AC?6，∴AO?3；
又AB?5，AO?OB，∴OB?4， ∴OH?AE?OD?1， AO22AECF5?，∴， ADCD4∴DH?D?H?3， ∴OD??OH?D'H， ∴D'H?OH． 又∵OHIEF?H， ∴D'H?面ABCD． ⑵建立如图坐标系H?xyz．
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