概率论(8)

第三节 一元连续型随机变量 2.3.1 概率密度函数

定义：设X为一随机变量，若存在非可积函数 f (x) ,???x??,使对任意实数 a < b ，有

P{a?x?b}?f(x)dxa

则称X为连续型随机变量， f (x) 称为X 的概率密度函数,简称概率密度或密度函数.

概率密度函数的几何意义

密度函数在区间上的积分 = 随机变量在区间上取值的概率

x2

P{x1?X?x2}?f(x)dxx1

概率密度函数的性质

非负性 f(x)?0,?x?(??,??)规范性 ??f(x)dx?1??

凡是满足以上两性质的函数均可以作为某个 连续型随机变量X的概率密度函数。

密度函数和分布函数的关系

?b??导数关系 若f(x)在x处连续，则F?(x)?f(x)连续型随机变量的分布函数的性质

连续型随机变量的分布函数在实数域内处处连续，因此，连续型随机变量取任意指定实数值a的概率为0。 P(X=a)=0 b?f(x)dxP(a≦X< b)= P(a

积分关系

F(x)??x??f(t)dt

F(x)?P(X?x)??x??f(t)dt

?

例：设连续型随机变量X的概率密度函数为：

0?x?2?ax?b　　f(x)???0　　　　其他

且P{11.5}。

例：已知分布函数求密度函数

?1(1,5)?f(x)??4例：已知密度函数求分布函数已知连续型随机变量X的概率密度为 ??0其它

求 X 的分布函数 解：当 x≦1 时

xy F(x)??1x??f(t)dt?0

x 当1 < x ? 5 时

F(x)??F(x)??所以

x??f(t)dt????f(t)dt??f(t)dt?0??15xx111dx?(x?1)44 50 当 x>5 时

??f(t)dt???1??f(t)dt??f(t)dt??f(t)dt?0??15111dt?0?(5?1)?144

1 2 3 x 4 5 x 0 1 ?x5

f(x)?Ae练一练：已知连续型随机变量X的概率密度为 ，???x???

(1) 求 P ( ? 1 ? X ? 1) （2） 求 X 的分布函数

2.3.3 几种常见的连续型随机变量 1.均匀分布 Uniform Distribution

?0x?1?1?F(x)??(x?1)1?x?5?4??1x?51 ?1　　a?x?b?f(x)??b?a??0　　　　其它 定义：若连续型随机变量X的概率密度为

则称X在区间 （a，b）上服从均匀分布．记为 X ~ U (a, b)

x?a?0, 分布函数

?x?a? F(x)??,a?x?bb?a?

b?x??1, 意义 0 a b x

X“等可能”地取区间（a,b）中的值，这里的“等可能”理解为：X落在区间（a,b)中

任意等长度的子区间内的可能性是相同的。或者说它落在子区间内的概率只依赖于子区间的长度而与子区间的位置无关。

（ ） 0 a x c

db d

c

d 1d?c?dx? cb?ab?a

例：102电车每5分钟发一班，在任一时刻 某一乘客到了车站。求乘客候车时间不超过2分钟的概率。

解：设随机变量X为候车时间，则X服从（0，5）上的均匀分布X～U（0，5） 2212P(X?2)?F(2)?f(x)dx?dx?005 5 2x想一想：设ξ在[-1，5]上服从均匀分布，求方程 ? 2 x ? 1 ? 0 有实根的概率。

解 方程有实数根 4 ? 2 ? 4 ? 0 即 ??1

?1 (?1?x?5)而 ? 的密度函数为 f(x)???6? ?0 其它P{c?X?d}??f(x)dx?????1??2所求概率为

P{??1}?f(x)dx?f(x)dx???13

??e??xx?02.指数分布 Exponential Distribution

f(x)??(??0为常数） 定义：若连续型随机变量X的概率密度为 ? 0 x ? 0 则称

??X服从参数为 的指数分布.X～E(?)

分布函数 F(x)????x1?ex?0?

指数分布常用来作为一些“寿命”分布的近似，如随机服务系统的服务时间，两次故障之间的时间间隔，一些消耗性产品（如电子元器件等）或设备的使用寿命等都可近似地用指数分布来刻画。

P(X?1)P(?1?X?2)例：设X服从参数为3的指数分布，求它的密度函数及 和

解：X的概率密度 x2?3e?3xx?0f(x)??P(x1?X?x2)?f(x)dx x10x?0? 2?????3x?3P(?1?X?2)?3e?3xdx?1?e?6P(X?1)?f(x)dx?3edx?e 011

例：已知某种灯泡的使用寿命X（小时）服从参数为1/2000的指数分布。 求：（1）灯泡寿命在500小时到1000小时的概率。 （2）任取1只灯泡能正常使用1000小时以上的概率。

3.正态分布 Normal Distribution

??0x?0???? 3.1 定义

f(x)?若连续型随机变量X的概率密度为

1e2???(x??)22?2　　???x???其中

???x???,??0则称X服从参数为 ?,?2正态分布，记为X~N(?,?2)F(x)??x正态分布的分布函数

??1e2???(t??)22?2dt

3.2 正态分布的重要性

正态分布是概率论中最重要的分布

（1）正态分布是实践中最常见的分布。 （2）许多分布可用正态分布来近似，另外一些分布又可以由正态分布导出。 ?

3.3 正态分布的密度函数的性质与图形

F1 (1x2) x

3.4 标准正态分布 Standard Normal distribution

3.4.1 标准正态分布密度函数

定义：X ~ N（0，1）分布称为标准正态分布

x2? 偶函数 密度函数： 1

?(x)?e2???x??? 2?分布函数：

?(x)??x??1?2edt2?

t2y??(x)

3.4.2 图形

特点：①曲线关于y轴对称。

?(0)? ②当x=0时最大值 ③在x??1处有拐点。

1?0.39892? 。

??0??1 ④图形以x轴为水平渐近线。

3.4.3 标准正态分布函数表

因为标准正态分布的密度函数的原函数不能用初等函数的有限形式表示出来，所以提供了

y??(x)附表来供查值。 公式 P（a?X?b）??(b)??(a) （X?a）?1??(a)P（X?b）??(b)P查表

x?0时，?(x)的值可以查表

x?0时,?(?x)?1??(x)

?(?x)?1??(x)

?(0)?0.50,1）例 X～N（ P(X?0.5) P(0.1?X?0.6) P(X?2)

P（X?1）P（X??1）P(X?1.96)

一般正态分布的标准化

定理: 如果X~N(?,?2),则F(x)???x????????

一般正态分布的区间概率

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