概率论(5)

20岁的这种动物活到25岁的概率。 解 设A表示“活到20岁”，B表示“活到25岁” 则 P(A)?0.7,P(B)?0.56所求概率为 P ( BA)?P(AB)?P(B)?0.8P(A)P(A)

1.5.1 全概率公式

引例：一个盒子中有６只白球、４只黑球，从中不放回地每次任取１只，连取２次，求第二次取到白球的概率 解：A={ 且ＡＢ与 AB 互 第一次取到白球}因为 Ｂ＝ＡＢ∪ AB不相容。 ABABB所以 P ( B ) ? P ( AB ) ? P ( A ) ?P(A)P(BA)?P(A)P(BA)

A6546 ????109109

全概率公式

如果事件Ａ1 ，Ａ2 ，...，Ａn 构成一个完备事件组，且Ｐ(Ａi )＞0 ，i＝1，2，...，n，

n则对任一随机事件Ｂ，有 P(B)?P(Ai)P(B|Ai)?A2A1i?1

全概率公式可以把某个随机事件概率的计算转化成计算若干个 互不相容事件的概率和，而这些互不相容事件的概率相对较易 … B求出或已知，这就使该随机事件概率计算得以简化。 …

An

例 设播种用麦种中混有一等，二等，三等，四等四个等级的种子，分别各占95.5％，2％，1.5％，1％，用一等，二等，三等，四等种子长出的穗含50颗以上麦粒的概率分别为0.5，0.15，0.1，0.05，求这批种子所结的穗含有50颗以上麦粒的概率．

解：设从这批种子中任选一颗是一等，二等，三等，四等种子的事件分别是Ａ1，Ａ2，Ａ3，Ａ4，则它们构成完备事件组，又设Ｂ表示任选一颗种子所结的穗含有50粒以上麦粒这

4一事件，则由全概率公式： P(B)??P(Ai)P(BAi)i?1

＝95.5％×0.5＋2％×0.15＋1.5％×0.1＋1％×0.05 ＝0.4825

例 某厂有甲、乙、丙3个车间生产同一规格的产品，每个车间的产量分别占总产量的25%，35%，40%，各车间的废品率分别为5%，2%，问从成品库中随机抽出1只产品是废品的概率是多少？

解：设B表示抽出的1只产品是废品。

BAA1表示取出1只是甲车间的产品，A2表示取出1只是乙车间的产品，

A3表示取出1只是丙车间的产品，

由于A1，A2，

A3两两互不相容，并且A1?A2?A3?? ，由全概率公式得：

P(B)?P(A1)P(B|A1)?P(A2)P(B|A2)?P(A3)P(B|A3)?25%?5%?35%?4%?40%?2%?3.45%1.5.2 贝叶斯公式

A1BAi设A1，A2，?, An构成完备事件组，且诸P（Ai）>0 B为样本空间的任意事件，P（ B） >0 , 则有 …

P(A)P(B|A) P(A|B)?kkkn P i) P ( B | A i ) ( A… i?1n( k =1 , 2 , ? , n)

例 设播种用麦种中混有一等，二等，三等，四等四个等级的种子，分别各占95.5％，2％，1.5％，1％，用一等，二等，三等，四等种子长出的穗含50颗以上麦粒的概率分别为0.5，0.15，0.1，0.05，求这批种子所结的穗含有50颗以上麦粒的概率．

解：设从这批种子中任选一颗是一等，二等，三等，四等种子的事件分别是Ａ1，Ａ2，Ａ3，Ａ4，则它们构成完备事件组，又设Ｂ表示任选一颗种子所结的穗含有50粒以上麦粒这

4一事件，则由全概率公式： P(B)??P(Ai)P(BAi)i?1

＝95.5％×0.5＋2％×0.15＋1.5％×0.1＋1％×0.05＝0.4825

例 设某工厂有甲、乙、丙三个车间生产同一种产品，已知各车间的产量分别占全厂产量的25 %， 35%， 40%，而且各车间的次品率依次为 5% ，4%， 2%．现从待出厂的产品中检查出一个次品，试判断它是由甲车间生产的概率．

解：设Ａ1 ，Ａ2 ，Ａ3 分别表示产品由甲、乙、丙车间生产，Ｂ表示产品为次品． 显然，Ａ1 ，Ａ2 ，Ａ3 构成完备事件组．依题意，有 Ｐ(Ａ1)＝ 25% , Ｐ(Ａ2)= 35% , Ｐ(Ａ3)＝ 40%,

Ｐ(Ｂ|Ａ1)＝ 5% , Ｐ(Ｂ|Ａ2)＝4% , Ｐ(Ｂ|Ａ3)＝ 2%

0.25?0.05P(A1)P(BA1)Ｐ(Ａ1|Ｂ= ?P(A1)P(BA1)?P(A2)P(BA2)?P(A3)P(BA3)0.25?0.05?0.35?0.04?0.4?0.02

?0.362

练一练：甲箱中有3个白球，2个黑球，乙箱中有1个白球，3个黑球。现从甲箱中任取一球放入乙箱中，再从乙箱任意取出一球。问从乙箱中取出白球的概率是多少？ 解：设B=“从乙箱中取出白球”，A=“从甲箱中取出白球”，

2132 P(B|A)?P(B|A)?P(A)?P(A)?5555

32218利用全概率公式 P(B)?P(A)P(B|A)?P(A)P(B|A)?????555525 讨论

爱滋病普查：使用一种血液试验来检测人体内是否携带爱滋病病毒.设这种试验的假阴性比例为5%（即在携带病毒的人中，有5%的试验结果为阴性），假阳性比例为1%（即在不携带病毒的人中，有1%的试验结果为阳性）.据统计人群中携带病毒者约占1?，若某人的血液检验结果呈阳性，试问该人携带爱滋病毒的概率. 符号引入：“携带病毒”为A，“实验呈阳性”为B，则 P(A)?0.001,P(BA)?0.05,P(BA)?0.01 B 求P(AB)AA

练一练：已知在所有男子中有5%，在所有女子中有0.25%患有色盲症。随机抽一人发现患色盲症，问其为男子的概率是多少？（设男子和女子的人数相等）。 解：设A=“男子”，B =“女子” , C=“这人有色盲”

B

P(C|A)?0.05P(C|B)?0.0025

?AP(A)?0.5P(B)?0.5A

C P(A|C)?

0.05?0.5P(AC)P(A)P(A|C)??0.5?0.05?0.5?0.0025P(C)P(A)P(C|A)?P(B)P(C|B)0.05?0.5520??0.5?0.05?0.5?0.00255?0.2521?1.6.1 事件的独立性

引例：一个盒子中有６只黑球、４只白球，从中有放回地摸球。求（1） 第一次摸到黑球的条件下，第二次摸到黑球的概率；（2） 第二次摸到黑球的概率。 解：A={第一次摸到黑球}，B={第二次摸到黑球}则

66466 P(BA)??0.6P(B)?P(A)P(BA)?P(A)P(BA)?????0.61010101010

则： P(BA)?P(B)

1.事件的独立性 定义

设Ａ、Ｂ为任意两个随机事件，如果 Ｐ（Ｂ｜Ａ）＝Ｐ（Ｂ）

即事件Ｂ发生的可能性不受事件Ａ的影响，则称事件Ｂ对于事件Ａ独立． 显然，Ｂ对于Ａ独立，则Ａ对于Ｂ也独立，故称Ａ与Ｂ相互独立． P(AB)P(AB)?P(AB)?P(A)?P(AB)?P(AB)/P(A) P(B)P(B|A)生活中随机事件独立性举例：

1.两个人进行单独射击，事件A,B分别表示两人中靶，则认为A,B相互独立。 2.掷n枚均匀硬币，

Ai表示第i枚硬币正面向上，则认为A1,A2,???,An相互独立。

3.一批种子每粒是否发芽认为是彼此独立。

4.有返回抽取产品，每次抽到合格品事件相互独立。

注：实际问题中，事件的独立性可根据问题的实际意义来判断。

2.事件的独立性判别

事件Ａ与事件Ｂ独立的充分必要条件是 P(AB)?P(A)P(B) 由乘法公式P(AB)?P(A)P(B|A)和 证明

独立性定义P(B|A)?P(B)可得

3.n个事件相互独立 4.如果n(n?2)个事件否的影响，则称注意：事件

A1,A2,???,An中任何一个事件发生的可能性都不受其他事件发生与

A1,A2,???,An相互独立。

A1,A2,???,An相互独立与事件A1,A2,???,An两两独立不同；相互独立一定两两

独立，但反之不一定。

4.事件独立性的结论

（1）若事件A与B独立，则A,B;A,B;A,B 中每一对事件也互相独立。 （2）若事件（3）若事件

A1,A2,???,An相互独立，则P(A1A2???An)?P(A1)P(A2)???P(An)

A1,A2,???,An相互独立，则P(A1?A2?????An)?1?P(A1)P(A2)???P(An)

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