概率论(4)

A 推广：对任意三个事件A,B,C，则有

B (A?B?C)?P(A)?P(B)?P(C)PC ?P(AB)?P(BC)?P(AC)?P(ABC)

例：袋中有20个球，其中15个白球，5 个黑球，从中任取3个，求至少取到一个白球的概率．

解：设Ａ表示至少取到一个白球，Ａi 表示刚好取 到i个白球，i＝0，1，2，3， 则 方法１ （用互不相容事件和的概率等于概率之和） 32112C15C15C5C15C5?3Ｐ(A)＝Ｐ(A1∪Ａ2∪Ａ3)＝Ｐ(Ａ1)＋Ｐ(Ａ2)＋Ｐ(Ａ3) ??33C20C20C20 方法２ （利用对立事件的概率关系）

3C5

P(A)?1?P(A)?1?P(A0)?1?3 C20例：甲、乙两人同时向目标射击一次，设甲击中的概率为 0.85 ，乙击中的概率为 0.8 ．两人都击中的概率为 0.68 ．求目标被击中的概率．

解： 设Ａ表示甲击中目标，Ｂ表示乙击中目标，Ｃ表示目标被击中， 则

(C) ?) ? P ) ? P ( A ? B ) ? P ( A P ( B P ( AB ) ＝ 0.85 ＋ 0.8 － 0.68 ＝ 0.97

例：已知P（A）=0.3,P(B)=0.6,试在下列两种情形下分别求出P(A-B)与P(B-A)。 (1) 事件A,B互不相容 (2) 事件A,B有包含关系

解

练一练：考察甲，乙两个城市6月逐日降雨情况。已知甲城出现雨天的概率是0.3, 乙城出现雨天的概率是0.4, 甲乙两城至少有一个出现雨天的概率为0.52, 试计算甲乙两城同一天出现雨天的概率.

解 设A表示“甲城下雨”，B表示“乙城下雨”

则 P(A)?0.3,P(B)?0.4,P(A?B)?0.52所以

P(AB)?P(A)?P(B)?P(A?B)?0.18

练一练：把6个小球随机地投入6个盒内(球,盒可识别),求前三个盒当中有空盒的概率. 解：设 A i 表示第 i 个盒空着

则所求概率为 P(A1?A2?A3)?P(A1)?P(A2)?P(A3) ?P(A1A2)?P(A1A3)?P(A2A3)

?P(A1A2A3)134803

?656?3?46?3?36??0.7459 646656

练一练：在1-1000的整数中随机地取一个数，问取到的整数既不能被6整除，又不能被8整除的概率。

??解：A={取到的整数能被6整除} B={取到的整数能被8整除}

P(AB)?P(A?B)?1?P(A?B)?1?[P(A)?P(B)?P(AB)]

P(A)?16612541,P(B)?,P(AB)?100010001000

13P(AB)?1??44

1.4.1 (AB)?P(AB) 条件概率P至今为止，所讨论的事件概率都在一个特定的样本空间上进行，这样的概率称为无条件概率，事件A发生的概率记为P(A)。在对随机事件的概率作进一步探讨时，有时需要讨论在某一个事件B发生的条件下事件A发生的概率。

引例：100名考生的成绩情况为：优秀20名，合格75名，不合格5名，考试通过包含优秀与合格两种成绩，求： （1）全部考生的优秀率。 （2）通过考生的优秀率。

通优解：设A={优秀}，B={通过}。

过 秀 （1）P(A)=20/100

?（2）20/95

定义

设Ａ，Ｂ为同一个随机试验中的两个随机事件 , 且Ｐ（Ｂ）＞０， 则称 P(AB)P(AB)?

P(B)

为在事件Ｂ发生的条件下，事件Ａ发生的条件概率．

例题：抛掷一颗骰子,观察出现的点数。A={出现的点数是奇数}＝｛１，３，５｝B={出

P(A)?现的点数不超过3}＝｛１，２，３｝出现的点数是奇数的概率：若已知出现的点数不超过3，求出现的点数是奇数的概率 即事件 B 已发生，求事件 A 的概率 Ｐ（Ａ｜Ｂ） A B 都发生，但样本空间缩小到只包含Ｂ的样本点P (A|B)?

条件概率 P(A|B)的样本空间

12

(?A)A(?AB)AB(?B)B?AB2??B3?(n)

概率 P(A|B)与P(AB)的区别与联系 联系：事件A，B都发生了

区别： （1）在P(A|B)中，事件A，B发生有时间上的差异，B先A后；在P（AB）中，

事件A，B同时发生。

（2）样本空间不同，在P(A|B)中，事件B成为样本空间；在P（AB）中，样本

空间仍为 ?。

因而有

计算条件概率P(B|A)的方法： ①在原来的样本空间 中，直接由定义计算。 （原样本空间中P(A)，P(AB)好求。） ②在缩减后的样本空间 中计算。 （缩减后的样本空间简单明了。）

例 设 100 件产品中有 70 件一等品，25 件二等品，规定一、二等品为合格品．从中任取1 件，求 (1) 取得一等品的概率；(2) 已知取得的是合格品，求它是一等品的概率．

解：设Ａ表示取得一等品，Ｂ表示取得合格品，则 （1）因为100 件产品中有 70 件一等品，所以

（2）方法1：因为95 件合格品中有 70 件一等品，所以

70P(A)??0.7 100方法2： 70P(AB)??0.7368 95P(AB)70100P(AB)???0.7368三张卡片的游戏

95100P(B)假设老师的手里的三张卡片是不同的

现在把卡片放在包里摇晃一番，让你随意地抽出一张来，放在桌子上，这时候，卡片的一面就露了出来，是黑点或者是圆圈。假定露出的是个圆圈，要与你赌这张卡片的背面是什么？是黑点，还是圆圈。我赌的是正反面一样，都是圆圈，那你只能赌黑点了。

你觉得这个游戏公平吗?

很明显这张卡片不可能是黑点---黑点卡，因此，它要么是圆圈---圆圈卡，要么是黑点---圆圈卡，二者必居其一，这样一来，这张卡片的背面不是黑点，就是圆圈，所以赌什么都一样，全是公平的，你和我赢的机会均等，都是。

让我们看看问题出在哪里？？

我千方百计要你相信的是，同样可能发生的情况只有两种。然而事实是，同样可能发生的情况有三种

在这里你一定要把正反面区分开来看，将正面朝上视为一种情况，将反面朝上看成另一种情况。三张卡片随意抽一张放在桌子上，同样可能发生的情况有六种：

1.黑点---黑点卡的正面；2.黑点---黑点卡的反面； 3.圆圈---黑点卡的正面；4.圆圈---黑点卡的反面； 5.圆圈---圆圈卡的正面；6.圆圈---圆圈卡的反面。

因此，如果抽出的卡片放在桌子上，露出了圆圈，它所代表的情况可能是：

圆圈---黑点卡的正面；圆圈---圆圈卡的正面；圆圈---圆圈卡的反面。

在这三种情况中，“正反面一样”的情况占了两种，因此，在玩了多次以后，庄家就会三回里赢两回，你的钱很快就会流入他的腰包里，这可以算是智力诈骗吧。

例 考虑恰有两个小孩的家庭.若已知某一家有男孩，求这家有两个男孩的概率；若已知某家第一个是男孩，求这家有两个男孩（相当于第二个也是男孩）的概率.（假定生男生女为等可能）

解：Ω={ (男, 男) , (男 , 女) , (女 , 男) , (女 , 女) }

故两个条件概率为

1.4.2 乘法法则

P(AB)P(BA)? P(AB)?P(A)P(BA)P(A) P(AB)?P(B)P(AB)P(AB)? P(B) 其中：P(A)>0，P(B)>0

P(ABC)?P(A)P(BA)P(C|AB)推广 ①

② P(AA1A2?An)?P(A1)P(A21)P(A3(A1A2))?P(An(A 1A2?An?1))例： 一批产品中有 4% 的次品，而合格品中一等品占 45% .从这批产品中任取一件，

求该产品是一等品的概率．

解： 设Ａ表示取到的产品是一等品，Ｂ表示取出的产品是合格品， 则

P(B)?4%P(A|B)?45%

于是 P(B)?1?P(B)?96% 所以： P(A)?P(B)P(A|B)?96%?45%?43.2%例：一个盒子中有６只白球、４只黑球，从中不放回地每次任取１只，连取２次，求 (1) 第一次取得白球的概率； (2) 第一、第二次都取得白球的概率； (3) 第一次取得黑球而第二次取得白球的概率．

解：设Ａ表示第一次取得白球, Ｂ表示第二次取得白球, 则

6?0.6（1） P(A)?10

65?P(A)P(BA)?10?9?0.33（2）

（3） 46P(AB)?P(A)P(BA)???0.27 109练一练：全年级100名学生中，有男生（以事件A表示）80人，女生20人； 来自北京的（以事件B表示）有20人，其中男生12人，女生8人；免修英语的（以事件C表示）40人中，有32名男生，8名女生。求

P(BA)1/41P(A|B)???P(B)3/43P(A|B1)?P(B1A)1?P(B1)2P(AB)

练一练：某种动物出生之后活到20岁的概率为0.7，活到25岁的概率为0.56，求现年为

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