概率论

马鞍山师专数学教研室（韩海燕） 概率论与数理统计的起源和发展

概率论起源于15世纪中叶.尽管任何一个数学分支的产生与发展都不外乎是社会生产、科学技术自身发展的推动,然而概率论的产生,却肇于所谓的“赌金分配问题”.1494年意大利数学家帕西奥尼(1445－1509)出版了一本有关算术技术的书.书中叙述了这样的一个问题.在这以后100多年中,先后有多位数学家研究过这个问题,但均未得到过正确的答案.

直到1654年一位经验丰富的法国赌徒默勒以自己的亲身经历向帕斯卡请教“赌金分配问题”,引起了这位法国天才数学家的兴趣,并促成了帕斯卡与费马这两位大数学家之间就此问题展开的异乎寻常频繁的通信,他们一起研究了默勒提出的关于骰子赌博的问题，于是，一个新的数学分支--概率论登上了历史舞台。

三年后，也就是1657年，荷兰著名的天文、物理兼数学家惠更斯企图自己解决这一问题，结果写成了《论机会游戏的计算》一书，这就是最早的概率论著作。

在概率问题早期的研究中，逐步建立了事件、概率和随机变

量等重要概念以及它们的基本性质。后来由于许多社会问题和工程技术问题，如：人口统计、保险理论、天文观测、误差理论、产品检验和质量控制等。这些问题的提法，均促进了概率论的发展，从17世纪到19世纪，贝努利、隶莫弗、拉普拉斯、高斯、普阿松、切贝谢夫、马尔可夫等著名数学家都对概率论的发展做出了杰出的贡献。在这段时间里，概率论的发展简直到了使人着迷的程度。但是，随着概率论中各个领域获得大量成果，以及概率论在其他基础学科和工程技术上的应用，由拉普拉斯给出的概率定义的局限性很快便暴露了出来，甚至无法适用于一般的随机现象。因此可以说，到20世纪初，概率论的一些基本概念，诸如概率等尚没有确切的定义，概率论作为一个数学分支，缺乏严格的理论基础。

概率论的第一本专著是1713年问世的雅各·贝努利的《推测术》。经过二十多年的艰难研究，贝努利在该书中，表述并证明了著名的“大数定律”。所谓“大数定律”，简单地说就是，当实验次数很大时，事件出现的频率与概率有较大偏差的可能性很小。这一定理第一次在单一的概率值与众多现象的统计度量之间建立了演绎关系，构成了从概率论通向更广泛应用领域的桥梁。因此，贝努利被称为概率论的奠基人。

为概率论确定严密的理论基础的是数学家柯尔莫哥洛夫。1933年，他发表了著名的《概率论的基本概念》，用公理化结构，这个结构明确定义了概率论发展史上的一个里程碑，为以后的概率论的迅速发展奠定了基础。

20世纪以来，由于物理学、生物学、工程技术、农业技术和军事技术发展的推动，概率论飞速发展，理论课题不断扩大与深入，应用范围大大拓宽。在最近几十年中，概率论的方法被引入各个工程技术学科和社会学科。目前，概率论在近代物理、自动控制、地震预报和气象预报、工厂产品质量控制、农业试验和公用事业等方面都得到了重要应用。有越来越多的概率论方法被引入导经济、金融和管理科学，概率论成为它们的有力工具。

现在，概率论已发展成为一门与实际紧密相连的理论严谨的数学科学。它内容丰富，结论深刻，有别开生面的研究课题，由自己独特的概念和方法，已经成为了近代数学一个有特色的分支。

数理统计起源于人口统计、社会调查等各种描述性统计活动。第二次世界大战军事上的需要以及大工业与管理的复杂化产生了运筹学、系统论、信息论、控制论与数理统计学等学科。数理统计学是一门研究怎样去有效地收集、整理和分析带有随机性的数据，以对所考察的问题做出推断或预测，直至为采取一定的决策和行动提供依据和建议的数学分支学科。统计方法的数学理论要用到很多近代数学知识，如函数论、拓扑学、矩阵代数、组合数学等等，

但关系最密切的是概率论，故可以这样说：概率论是数理统计的基础，数理统计是概率论的一种应用。但是它们是两个并列的数学分支学科，并无从属关系。

当前，数理统计的应用范围愈来愈广泛，已渗透到许多科学领域，应用到国民经济各个部门，成为科学研究不可缺少的工具．

第一章 随机事件及其概率

? 随机事件 ? 概率

? 概率的加法法则 ? 条件概率和乘法法则 ? 全概率公式与贝叶斯公式 ? 独立试验概型

第一节 随机事件 1.1 随机事件

? 必然现象（确定性现象）

是指在相同条件下一定出现相同结果的现象。

1.在一个标准大气压下，纯净水加热到100℃时会沸腾。 2.垂直上抛一重物，该重物会垂直下落 。

3. 同性电子相互排斥，异性电子相互吸引。349818273

1.1.2 随机事件

1.随机试验（实验） 实例：

（1）掷一枚均匀硬币，观察它自由下落后出现正面朝上的情况。

（2）掷一颗均匀骰子，观察它朝上一面的点数。

（3）某射手对目标进行射击，直到击中目标为止，记录射击次数。 （4）在一批电子管产品中，任意抽取一只，检测它的寿命。

在概率论中我们把对随机现象的观察或试验称为随机实验（记作E），简称试验。事件是指试验的结果。

随机实验的3个特征:

①试验在相同的条件下可重复进行。

②每次试验的结果具有多种可能性，而且在试验之前可 以确定试验的所有可能结果。

③每次试验前不能准确预言试验后会出现哪一种结果。 2.随机事件

通俗地说，随机试验中每一种可能发生的现象，或者说每一个可能发生的事情都

称为随机事件，简称事件． 随机事件通常用大写英文字母Ａ、Ｂ、Ｃ等表示或用A1,A2,...表示。

例如：

① 在抛掷一枚均匀硬币的试验中，“正面向上”是一 个随机事件，可用Ａ＝｛正面向上｝表示．

②掷骰子，“出现偶数点”是一个随机事件，可用

B=“偶数点” 来表示。

注：我们用引号或集合来表示随机事件。 事件分类： 1.基本事件

在随机试验中，每一个不能再分解的事件称为随机试验的基本事件。 例如：①掷一颗骰子一次的试验，记

Ai???i,i?1,2,3,4,5,6都是基本事件。

2.复合事件

在随机试验中，含有一些基本事件的事件称为复合事件。 例如：掷一颗骰子一次的实验，B=“偶数点”是复合事件。 3.不可能事件

在随机试验中，每次试验都不会出现的事件称为不可能事件，用 表示。 例如：掷一颗骰子一次的试验，A={点数大于7}是不可能事件。 4.必然事件

在随机试验中，每次试验中必然出现的事件称为必然事件，用?表示。

例如：掷一颗骰子一次的试验，B=“点数大于0”是必然事件。

注：必然事件和不可能事件都是确定性事件，实际上并不是随机事件，但是为了以后讨论方便，我们把它们当做特殊的随机事件。

样本空间 1.样本点

随机试验中的每一个可能出现的试验结果称为这个试验的一个 样本点 。 2.样本空间

12n全体样本点组成的集合称为这个试验的样本空间，记作Ω．即

在一个随机试验中，基本事件也称为样本点，不可能事件不含任何样本点，复合事件是由一些样本点组成，必然事件包含全部样本点。

例题：写出下列试验的样本空间

E1: 掷一颗匀质骰子，观察骰子出现的点数

Ω={1，2，3，4，5，6}

E2: 射手向一目标射击，直到击中目标为止

Ω={1,2,…}

E3: 从四张扑克牌J,Q,K,A任意抽取两张。

Ω={(J,Q),…(Q,A)}

E4: 在一批灯泡中任意抽取一只，测试它的寿命

Ω={ｔ| 0≤ｔ≤ T}

1.1.3 事件的集合表示与图示

随机事件及其关系的探讨可以借助集合概念、集合与集合之间的关系及集合的文氏图（Venn）等直观、方便地来表述。

1.1.4 事件之间的关系及其运算 1.事件的包含

如果事件Ａ发生必然导致事件Ｂ发生 ，即属于A的每一个样本点也属于B，则称事件

????,?,?,?,??B包含事件A，或称事件A包含于事件B，记作：A?B 。

例如：若事件A={1,3}，B={1,2,3}，则有A?B。

又如：A=“点数4”，B=“偶数点”，则有A?B。 注：对任意事件A都有下面结论成立： （1）??A??（2）A?A

?B A ?B A 2.事件的相等

如果事件A包含事件B，事件B也包含事件A，则称事件A与B相等，记为A=B，即事件“A=B”指A,B是两个包含样本点完全相同的集合。

例如：在投掷一颗骰子的试验中，事件“出现偶数点”与事件“出现2，4或6点”是相等事件。

又如：在掷两颗骰子的实验中，A=“点数之和为10”，B={(5,5)，(4,6)，(6,4)}，则有A=B。

注：A?B?A?B且B?A

3.事件的并（或和）

两个事件A,B中至少有一个发生所构成的事件，称为事件A与事件B的并（或和），记为A+B或 。

?BA

?

多个事件的和

A?Bi?1

A1?A2???An??=

例如：若事件A={2,3}，B={2,5}，则A+B={2,3,5}。

A1?A2???An=?Ain?Ai?1?i又如：若事件A={1,3,5}，B={2,4,6}，则A+B=?

注：对任何事件A都有下面结论成立：

（1）A?A?A（2）A???A（3）A????

4.事件的交（或积）

两个事件A，B同时发生构成的事件，称为事件A与事件B的交（或积）记为AB或 。

?BＡＢ Ａ∩Ｂ

??nA?

多个事件的积

A1A2?An?Ai i?1? A1A2?An??Aii?1

例如：若事件A={1,2,3}，B={2,4,5}，则AB={2}。 又如，若事件A={1,2}，B={4,5}，则AB= 。

注：对任何事件A,B都有下面结论成立：

（1）AA?A（2）A???（3）A??A（4）AB?A?A?B（5）AB?B?A?B

5.互不相容事件（互斥事件 )

若事件A与B不能同时发生，即AB=?称事件A与B互不相容（或称互斥）。 例如：A={1}，B={5}，AB=?，则A，B互不相容。 又如：

Ai?{i},i?1,2,...,6,则AiAj??,i?j,i?1,2,...,6,j?1,2,...,6Ai?{i},i?1,2,...,6

所以对于基本事件

任意两件事件互补相容。

注：任何一个随机试验的基本事件之间互不相容。

?AB

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