概率论(6)

例：试证明：若事件A与B独立，则A,B;A,B;A,B中每一对事件也相互独立。

证明 若A、B独立，则 P(AB)?P(A)?P(B) P(AB)?P(A?B)?1?P(A?B)?1?P(A)?P(B)?P(AB) ?1?P(A)?P(B)?P(A)P(B)??1?P(A)??1?P(B)??P(A)P(B)

与B所以， A 独立。

例如 一个家庭中有若干个小孩，假设生男生女是等可能的，令A={一个家庭中有男孩、又有女孩}，B={一个家庭中最多有一个女孩}，对下列两种情形，讨论A与B的独立性：（1）家庭中有两个小孩； （2）家庭中有三个小孩。 解 情形（1）的样本空间为 Ω={（男男），（男女），（女男），（女女）}

131

P(A)?,P(B)?,P(AB)?242

?? 此种情形下，事件A、B是不独立的。

例如 一个家庭中有若干个小孩，假设生男生女是等可能的，令A={一个家庭中有男孩、又有女孩}，B={一个家庭中最多有一个女孩}，对下列两种情形，讨论A与B的独立性：（1）家庭中有两个小孩； （2）家庭中有三个小孩。 解 情形（2）的样本空间为 Ω={（男男男），（男男女），（男女男），（女男男） （男女女），（女男女），（女女男），（女女女）}

613

P(A)?,P(B)?,P(AB)? 828此种情形下，事件A、B是独立的。

概念辨析

事件Ａ与事件Ｂ独立 P(AB)?P(A)?P(B)P(AB)?0事件Ａ与事件Ｂ互不相容 AB??P(A)?P(B)?1A?B??AB??事件Ａ与事件Ｂ为对立事件

例：甲乙二人向同一目标射击，甲击中目标的概率为0.6，乙击中目标的概率为0.5。试计算 1）两人都击中目标的概率；2）恰有一人击中目标的概率；3）目标被击中的概率。 解 设A表示“甲击中目标”，B表示“乙击中目标”

例 加工某一种零件需要经过三道工序，设三道工序的次品率分别为2%，1%，5% ，假设各道工序是互不影响的．求加工出来的零件的次品率．

解设Ａ1 ，Ａ2 ，Ａ3 分别表示第一、第二、第三道工序出现次品，则依题意：Ａ1 ,Ａ2 ,Ａ3 相互独立，且 Ｐ（Ａ1）＝2 % , Ｐ（Ａ2）＝1% , Ｐ（Ａ3）＝5% 又设Ａ表示加工出来的零件是次品, 则 A＝Ａ1∪Ａ2∪Ａ3 方法２ （用对立事件的概率关系）

P(A)?1?P(A)?1?P(A1?A2?A3)?1?P(A1)P(A2)P(A3)＝1－(1－ 0.02)(1－ 0.01)(1－ 0.05) ＝ 0.0783

1.6.2 贝努利试验Bernoulli trials

相互独立的试验：如果试验E可以重复进行n次,且每次试验的结果互不影响,则称这n次试验是相互独立的. n重贝努利试验

定义：在相同条件下，重复地做n次试验，如果满足： （1）每一次试验的结果都不影响其他各次试验的结果。 （2）每一次试验只有两种可能的结果A或 。 （3）每一次试验中事件A发生的概率都不变。

则称这样的n次试验为n次独立重复试验或n重贝努利试验，简称贝努利试验(Bernoulli trials). 例如：（1）从一批含有次品的零件中有放回地抽取n次，每次抽取一件检验是次品还是正品。

（2）在相同条件下射手进行n次射击，每次射击只考虑击中还是不击中。 （3）重复投掷一枚均匀硬币n次，观察出现正面或反面的情况。 1.6.3 贝努利定理（公式） 定理

设在一次试验中事件Ａ发生的概率为 p (0

k kn ? k ( k＝ 0，1，2，...，n )其中 次的概率为 P ( q?1?pnk)?Cnpq

证明：（1）从n次独立重复试验中任取k次试验，使得这k次试验事件A恰好发生，则

pk(1?p)n?k

（2）而从n次试验中任取k次试验有 种取法，且每种取法中是互不相容，则有

kkn?kPn(k)?Cnp(1?p)

例 有一批棉花种子,其出苗率为0.67,现每穴种4粒种子, (1) 求恰有ｋ粒出苗的概率(0≤k≤4)； (2) 求至少有两粒出苗的概率． 解：(1) 该试验为4 重贝努利试验

kk4?kn?4,p?0.67,q?1?p?0.33P4(k)?C4pq

(2) 设Ｂ表示至少有2粒出苗的事件,则 P(B)?P4(2)?P4(3)?P4(4) ?0.8918

例 设某人打靶，命中率为0.7，重复射击5次，求恰好命中3次的概率。 解 该试验为5重贝努利试验，且 n=5,p=0.7;q=0.3;k=3 所求概率为 P(A)?C3?0.73?0.32?0.30875

例 设某电子元件的使用寿命在1000小时以上的概率为0.2，当三个电子元件相互独立使用时，求在使用了1000小时的时候，最多只有一个损坏的概率。 解 设A表示“元件使用1000小时不坏”，则 P(A)?0.2 设B表示“三个元件中至多一个损坏”，则

3322P(B)?C3?0.2?C3?0.2?0.8?0.104

(0?k?4)例 一批种子的发芽率为80%，试问每穴至少播种几粒种子，才能保证99%以上的穴不空苗。(分析：“穴不空苗”即“至少有一颗种子发芽” ) nn0.2?0.011?(1?0.8)?0.99解 假设播n颗种子，则依题意可得 即

ln0.01 可解得 n??2.8614 ln0.2所以，每个穴中宜种3颗种子。

注意事项：

n重贝努里试验是非常重要的概率模型，在使用它进行计算概率时要注意使用条件，对于事件出现次数不同情况，也可应用以下结论。

kkkP(k)?Cp(1?p)0?k?nnn1.事件A恰好出现k次（）的概率为

2.事件A出现k1?k?k2次的概率为 3.事件A至少出现k次的概率为

p?Pn(k1)?Pn(k1?1)?...?Pn(k2)

p?Pn(k)?Pn(k?1)?...?Pn(n)

np?P(1)?P(2)?...?P(n)?1?P(0)?1?(1?p)nnnn4.事件A至少出现1次的概率为

在处理实际问题中，有时把每次试验条件近似相同、每次试验的结果相互影响非常微小的

n次试验近似看成重复独立试验，这样就可以使用贝努里公式近似计算。例如：大批量产品进行无放回抽查时，事件的概率计算可以用贝努里公式进行近似计算。

第二章 随机变量及其分布

随机变量

一元离散型随机变量 一元连续型随机变量

第一节 随机变量 Random Variable 基本思想

将样本空间数量化,即用数值来表示试验的结果

有些随机试验的结果可直接用数值来表示.例如: 在掷骰子试验中,结果可用1,2,3,4,5,6来表示

有些随机试验的结果不是用数量来表示，但可数量化。例如: 掷硬币试验,其结果是用汉字“正面”和“反面”来表示的

可规定: 用 1表示 “正面朝上” 用 0 表示“反面朝上” 随机变量的定义

定义：设随机试验的样本空间为Ω，如果对于每一个样本点 ? ? ? ，均有唯一的实数 X ( ?)与之对应，称 X ? X ( ? ) 为样本空间Ω上的随机变量,简记为X。

一般地，常用大写字母X，Y，Z，?表示，或用希腊字母ξ，η，ζ，?表示。 注：1.随机变量是样本点的函数。

2.随机变量在某一点或某一范围内取值，表示一个随机事件。 随机变量的两个特征:

1) 取值的随机性 即事先不知道随机变量取哪个值或哪一个区域。

2) 取值的统计规律性 即可以确定随机变量取某个值或某一个区域值的概率。 随机变量的实例

某个灯泡的使用寿命X。 X 的可能取值为 [0,+?)

某电话总机在一分钟内收到的呼叫次数Y. Y 的可能取值为 0，1，2，3，...,

在[0，1]区间上随机取点，该点的坐标X. X 的可能取值为 [0，1]上的全体实数。

用随机变量表示随机事件

例1：掷一颗质体均匀的骰子，记X={出现的点数}

X?k;　　X?3;　　X?4

例2：某一段时间内到达某一公共汽车站得候车人数记为X。

X?5;　　　X?20

例3：一个射手向一目标进行射击，每次射击命中目标的概率是p，记X={直到击中目标为止所需要得射击次数} X=K

随机变量的分类

????(1)离散型随机变量：随机变量取值只可能是有限个或??无限可列个值。?机变量取值不是有限个或无?(2)非离散型随机变量：随?限可列个值。???①连续型随机变量：随机变量所能取的值不能一一列??实数区间。??举出来，而是充满某一??②既不离散也不连续的随机变量。??

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